¿Cómo podría probar los límites de esta secuencia?

Question

La secuencia en cuestión se define como $a_{(n+1)} = 6/(7-a_n)$ para todo n mayor o igual que 1. También $a_0=2$ . Necesito probar que $a_n$ está acotada por 2 y 1, que es monótona decreciente así como demostrar su convergencia y el límite. No sé cómo hacerlo con $a_n$ dependiendo de $a_{(n+1)}$ , además la única información que me dieron fue que $a_0$ siendo 2, pero si la ecuación sólo funciona para valores n=1 y superiores no veo su utilidad.

Agradecería enormemente cualquier ayuda.

Answer 1

Primero demostramos que $a_n$ está limitado por debajo por 1. Sabemos que $2 = a_0 \geq 1$ y asumir $a_k \geq 1$ entonces $6 \geq 7-a_k$ Por lo tanto $a_{k+1} = \frac{6}{7-a_{k+1}} \geq 1$ . Por Inducción Matemática se demuestra.

A continuación demostraremos que $a_n$ disminuye. Tomó nota de que $$a_{n+1} \leq a_n \iff \frac{6}{7-a_n} \leq a_n \iff (a_n-6)(a_n-1) \leq0 \iff 6 \geq a_n \geq 1.$$

$6 > 2 = a_0>1$ Por lo tanto, según la observación anterior $6 > a_0 \geq a_1.$

Lo mismo ocurre con $a_2$ , $a_3$ ... porque $6 > a_0 > a_1 > ...$ y $a_k \geq 1$

Demostramos que $a_n$ está acotada por debajo y es decreciente, por la completitud del conjunto de números reales, $a_n$ converge.