Problema de matemáticas financieras

Question

$i^{(p)}$ es el interés nominal convertido p-thly es decir, el interés total por unidad de tiempo pagado por un préstamo de importe 1 a la vez 0 donde los intereses pagados en p plazos iguales al final de cada p-ésimo subintervalo.

No puedo entender la afirmación dada a continuación :

Desde $i^{(p)}$ es el total de intereses pagados y cada pago de intereses es de importe $\dfrac{i^{(p)}}{p}$ entonces el valor acumulado en el momento 1 de los pagos de intereses es :

$\dfrac{i^{(p)}}{p}(1+i)^{(p-1)/p} + \dfrac{i^{(p)}}{p}(1+i)^{(p-2)/p} +$ .. ..... $+ \dfrac{i^{(p)}}{p} = i$

donde $i$ es el tipo de interés efectivo.

¿Puede alguien explicar la afirmación anterior y, por tanto, la ecuación? Gracias de antemano.

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Lo he intentado una y otra vez , finalmente lo he interpretado de la siguiente manera , por favor corregidme si me equivoco ,

Sumamos el interés aplicable por intervalo, es decir, en ( 1/p , 2/p , .... , 1) y lo equiparamos al tipo de interés efectivo anual $i$ .

Así pues, el interés aplicable por intervalo puede considerarse como : $ \dfrac{i^{(p)}}{p} \times$ (Valor acumulado justo antes de ese intervalo ) por lo que , el interés aplicable en el intervalo (1/p)º sería $\dfrac{i^{(p)}}{p} (1 + i) ^{(1 - \frac{1}{p})}$ Así que..,

$\dfrac{i^{(p)}}{p}(1+i)^{(p-1)/p} + \dfrac{i^{(p)}}{p}(1+i)^{(p-2)/p} +$ .. ..... $+ \dfrac{i^{(p)}}{p} = i$

¿Es esto correcto?

Answer 1

Si el tipo efectivo es $i$ entonces la tasa $r$ para cada uno de los $p$ periodos viene dado por $1+r = (1+i)^{1 \over p}$ .

Existen $p$ pagos de intereses efectuados al final de cada intervalo. Cada pago es ${i^{(p)} \over p}$ de ahí el primer pago acumula intereses a lo largo de $p-1$ periodos, el segundo sobre $p-2$ períodos, ... y el último $0$ periodos.

Por lo tanto, el valor del primer pago en el momento 1 es ${i^{(p)} \over p} (1+r)^{p-1} = {i^{(p)} \over p} (1+i)^{p-1 \over p}$ el valor del segundo pago al final del tiempo 1 es ${i^{(p)} \over p} (1+r)^{p-2} = {i^{(p)} \over p} (1+i)^{p-2 \over p}$ etc, etc, y el valor del último pago (realizado en el momento 1) en el momento 1 es ${i^{(p)} \over p}$ .

Por lo tanto, el total es \begin{eqnarray} i &=& \sum_{k=0}^{p-1} {i^{(p)} \over p} (1+r)^{p-k} \\ &=& {i^{(p)} \over p} { (1+r)^p -1\over r} \\ &=& {i^{(p)} \over p} { (1+i) -1\over r} \\ &=& {i^{(p)} \over p} { i \over r} \\ \end{eqnarray} De ello se deduce que ${i^{(p)} \over p} = r $ y así $1+{i^{(p)} \over p} = (1+i)^{1 \over p}$ o, de forma equivalente $1+i = (1+{i^{(p)} \over p})^p$ .

Answer 2

Veámoslo con un ejemplo. Supongamos que $t = 1$ representa un año de tiempo desde $t = 0$ . Sea $p = 12$ de modo que $i^{(12)}$ representa un tipo de interés nominal convertible mensualmente (12 veces al año). Al tratarse de un tipo, también equivale a un importe de intereses pagados por unidad monetaria. El significado de "convertible mensualmente" es que el interés se devenga (es decir, se capitaliza) al final de cada mes, pero a un tipo efectivo mensual de $i^{(12)}/12$ .

Nos interesa el tipo efectivo anual equivalente $i$ correspondiente al tipo nominal mensual $i^{(12)}$ es decir, si se devengaran intereses al cabo de un año, ¿cuál sería la cantidad necesaria para que fuera igual al total de los intereses devengados si se capitalizaran mensualmente?

Se trata, pues, de constatar que los pagos de $i^{(12)}/12$ se realizan en los puntos temporales $t = 1/12, 2/12, 3/12, \ldots, 12/12$ y bajo el tipo efectivo anual $i$ , estos pagos han tenido tiempo $1-t = 11/12, 10/12, \ldots, 0$ para devengar intereses, respectivamente. Por lo tanto, el valor futuro de estos pagos en el momento $t = 1$ son $$\frac{i^{(12)}}{12} (1 + i)^{11/12} + \frac{i^{(12)}}{12} (1 + i)^{10/12} + \cdots + \frac{i^{(12)}}{12} (1 + i)^0,$$ y esto debe ser igual a $i$ ya que los intereses totales devengados en ambas situaciones son equivalentes. Ahora, utilizando la fórmula para una serie geométrica con razón común $r = (1+i)^{1/12}$ encontramos que el LHS es $$\frac{(1+i)^{12/12} - 1}{(1+i)^{1/12} - 1} \frac{i^{(12)}}{12} = \frac{i^{(12)} i}{12((1+i)^{1/12} - 1)},$$ y equiparar esto con $i$ y resolviendo se obtiene $$i = \left(1 + \frac{i^{(12)}}{12}\right)^{\!12} - 1,$$ y, en general, es fácil ver que para un tipo nominal de $i^{(p)}$ convertible $p$ veces desde $t = 0$ à $t = 1$ tenemos $$i = \left(1 + \frac{i^{(p)}}{p}\right)^{\!p} - 1.$$