Índice y subgrupos normales

Question

Quiero mostrar lo siguiente.

Para un grupo infinito G con sólo dos subgrupos normales (G y {e}) se cumple: No existe un subgrupo no trivial de G con índice finito.

Creo que debería demostrarlo por contradicción. Entonces existe una partición de G:

Sea U un subgrupo no trivial de G, se cumple: G= $g_1U\cup g_2U\cup...\cup g_nU$ para algunos $g_1,...g_n$ . ¿Quizás exista la posibilidad de demostrar que las gU son finitas?

Answer 1

Pista: Supongamos $G$ tiene un subgrupo $H$ de índice finito, entonces sea $G$ actúan sobre los cosets izquierdos de $H$ por traducción a la izquierda. Mira el núcleo de esta acción.

Answer 2

Sólo quiero completar esta prueba para los demás y para completar: Como he dicho antes, sólo hay dos posibilidades para $Core_G(U)$ Primero: $Core_G(U)=\{e\}$ y segundo: $Core_G(U)=G$ porque G sólo tiene dos subgrupos normales (G y $\{e\}$ ) y $Core_G(U)$ es claramente un subgrupo normal de G. Queremos ahora obtener una contradicción:

1) Si $Core_G(U)=\{e\}$ Obtenemos una contradicción porque entonces G es finito por el teorema de lagrange.

2) Si $Core_G(U)=G$ entonces queremos demostrar que $U=G$ lo que sería una contradicción con la elección de U y donde terminamos (Elegimos U como no trivial)

Demostrar por contradicción: Si $U\neq G$ entonces hay un elemento $h$ con $h \in G$ y $h\notin U$ . Por definición del Núcleo se sostiene $h\in gUg^{-1}$ $\forall g \in G$ especialmente para $g=e$ . Pero entonces $h\in U$ con es una contradicción.