Si alguien me preguntara qué significa para $X$ se distribuya normalmente, les diría que significa $X$ tiene función de densidad de probabilidad $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-x^2/2}$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .
De forma más rigurosa, podría decir alternativamente que $f$ es la derivada de Radon-Nikodym de la medida de distribución de $X$ con respecto a la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ o $f = \frac{\mathrm d \mu_X}{\mathrm d\lambda}$ . Según tengo entendido, $f$ vuelve a ponderar los valores $x \in \mathbb{R}$ de tal forma que $$ \int_B \mathrm d\mu_X = \int_B f\, \mathrm d\lambda $$ para todos los conjuntos de Borel $B$ . En particular, el gráfico de $f$ está por debajo de uno en todas partes: 
por lo que parece $f$ es volver a ponderar cada $x \in \mathbb{R}$ a un valor más pequeño, pero realmente no tengo ninguna intuición para esto. Estoy buscando más información sobre la visualización $f$ como un cambio de medida, en lugar de una especie de distribución que describe la probabilidad de que $X$ es.
Además, ¿tiene sentido preguntarse "qué fue primero"? ¿La definición de la fdp normal estándar como una simple función utilizada para calcular probabilidades, o la fdp como un cambio de medida?
