Hallar el límite de $\sqrt[n]{n^2 + n}$

Question

Para encontrar el límite obtuve el $\sqrt[3n]{n^2+n}$

En particular, $\sqrt[3n]{n^2+n} \ge 1 \rightarrow \sqrt[3n]{n^2+n} = 1 + d_n$ donde $d_n\ge 0$ .

Según la regla de Bernoulli $\sqrt{n^2+n} = (1+d_n)^n \ge d_n\cdot n \rightarrow d_n \le \frac{\sqrt{n^2+n}}{n}$

Le $\frac{\sqrt{n^2+n}}{n} \rightarrow 1$ Así que $\lim d_n=1$

Así que.., $\lim\sqrt[n]{n^2+n} = \lim (1+d_n)^3 = \lim(1+3d_n^2+3d_n+d_n^3) =8$

Sin embargo, $\sqrt[n]{n^2+n}$ tiende a $1$ . ¿Cuál es el problema de mi solución? ¿Puede darme una pista de cómo puedo resolverlo con la regla de Bernoulli?

Answer 1

Si su límite existe, digamos que es igual a $L$ . Entonces $$\begin{split} \ln L &= \ln \left( \lim_{n \to \infty} \left(n^2+n\right)^{1/n} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \ln \left( \left(n^2+n\right)^{1/n} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left(n^2+n\right)}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{\ln n + \ln (n+1)}{n} \right] \\ &= 0, \end{split}$$ lo que implica que $L = e^0 = 1$ ...

Answer 2

En primer lugar, demostraremos que $\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1$ . Definimos la secuencia $x_n$ como

$$x_n=n^{1/n}-1\tag1$$

ASIDE :

Tenga en cuenta que $n^{1/n}\ge 1$ para $n\ge1$ . Esto es cierto ya que si $0\le y\le 1$ entonces $0\le y^n\le 1$ para todos $n\in \mathbb{N}$ .

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En $(1)$ es fácil ver que $(1+x_n)^n=n$ . Entonces, utilizando el teorema del binomio, vemos que

$$\begin{align} n&=(1+x_n)^n\\\\ &=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x_n^k\\\\ &\ge \binom{n}{2}\,x_n^2\\\\ &=\frac{n(n-1)}{2}\,x_n^2 \tag2 \end{align}$$

de lo que se concluye que $$\begin{align} 0\le x_n \le \sqrt{\frac{2}{n-1}}\tag3 \end{align}$$

Aplicando el teorema del estrujamiento a $(3)$ revela

$$\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1\tag4$$

Por último, escribimos

$$\left(n^2+n\right)^{1/n}=n^{1/n}\left(1+\frac1n\right)^{1/n}\tag5$$

En la medida en que el límite del segundo término del lado derecho de $(5)$ no es de forma indeterminada, sino que es de la forma $1^1=1$ concluimos que $(4)$ que

$$\lim_{n\to\infty}\left(n^2+n\right)^{1/n}=1$$

Answer 3

El error fundamental de su solución es que $d_n\le{\sqrt{n^2+n}\over n}\to1$ no implica que $\lim_{n\to\infty}d_n=1$ pero sólo que $\lim_{n\to\infty}d_n\le1$ de lo que todo lo que puedes decir es que $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+n}=\lim_{n\to\infty}(1+d_n)^3\le(1+1)^3=8$ lo cual es cierto, pero no es útil.

En realidad puede hacer que su enfoque funcione, corrigiendo otro error en él. Usted fue, incorrectamente, de $\sqrt[3n]{n^2+n}=1+d_n$ a $\sqrt{n^2+n}=(1+d_n)^n$ en lugar de $\sqrt[3]{n^2+n}=(1+d_n)^n$ . Aunque es inútilmente cierto que ${\sqrt{n^2+n}\over n}\to1$ se utiliza ful s cierto que ${\sqrt[3]{n^2+n}\over n}\to0$ porque la desigualdad $\sqrt[3]{n^2+n}=(1+d_n)^n\ge d_n\cdot n$ ahora dice que $0\le d_n\le{\sqrt[3]{n^2+n}\over n}\to0$ Así que $\lim_{n\to\infty}d_n=0$ y así

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+n}=\lim_{n\to\infty}(1+d_n)^3=(1+0)^3=1$$

Observación: Podría añadir, que la noción de evaluar el límite de un $n$ empezando por raíz de la $n$ (en este caso, la raíz cúbica del $n$ ª raíz) es un enfoque novedoso, que yo no había visto antes. Es agradable aprender algo nuevo.

Answer 4

Supongo que la pregunta es: ¿Qué hay de malo en su prueba?

Mostró $d_n ≤ {(n^2+n)^{1/2} \over n}$ . Tome una hoja de cálculo para ver los primeros 20 valores y verá que $d_n$ es en realidad mucho menos de $(n^2+n)^{1/2} \over n$ . $d_n ≤ {(n^2+n)^{1/2} \over n}$ no implica que el límite de $d_n$ es igual al límite de $(n^2+n)^{1/2} \over n$ implica que es menor o igual. En este caso: Mucho menos. 0 y no 1.

Answer 5

Opción:

$1\le (n^2+n)^{1/n} \le (2n^2)^{1/n} =$

$2^{1/n}(n)^{1/n}(n)^{1/n}.$