Estoy trabajando con un problema de un examen antiguo en el que había que calcular el valor esperado y la varianza del número de lanzamientos, llamémoslo $N$ antes de que tengamos dos colas seguidas.
También suponemos que la moneda es justa, es decir, que la probabilidad de obtener cara y cruz es igual. Por nuestra parte, formemos también los sucesos $T$ para voltear una cola, y $H$ para voltear una cabeza.
Para calcular el valor esperado, necesitamos encontrar el pmf de nuestra variable estocástica $N$ . Esto puede hacerse fácilmente examinando primero algunos casos básicos de $p(k):=P(N=k)$ .
Además, tenemos que $V_N \in \{2,3,\dots\}$ .
Para $N = 2$ , $P(N=2) = P(T \cap T) = 1/4$ trivialmente. Para $N = 3$ , $P(N=3) = P(H \cap T \cap T) = 1/8$ también trivialmente.
A partir de esto notamos un patrón, antes de cada final $TT$ tenemos que colocar un $H$ lo que significa que esta posición siempre está determinada.
Por ejemplo $N = 4$ tenemos que las tres últimas letras son $HTT$ y para la primera posición, tenemos 2 opciones, es decir $P(N=4) = 2 / 2^4 = 1/8$
¿Y en el caso de que $N = k$ ?
Ya sabemos que las tres últimas letras están determinadas. Lo que significa que tenemos un total de $2^{k-3}$ opciones que quedan por hacer. Pero a esto hay que restarle el número de $TT$ - "hilos" que puedan surgir en el resto de nuestra $k-3$ posiciones.
Sin embargo, a partir de aquí, me cuesta encontrar el número de combinaciones para las que no obtenemos un $TT$ en algún lugar a lo largo del $k-3$ posiciones. Sé que en cuanto tengamos $T$ debemos elegir $H$ pero tan pronto como consigamos $H$ tenemos $2$ decisiones que tomar. Tal vez esta sea una forma mejor de abordar el problema en lugar del método que he utilizado anteriormente. Aún así, no veo realmente cómo cubrir todos los casos, y me alegraría si alguien pudiera compartir estos detalles.
Además, te agradecería que no compartieras la solución completa del valor esperado y la varianza, ya que intentaré resolverlo por mi cuenta.
Gracias.
