sobre Zn para determinar la irreducibilidad sobre Q

Question

Si $h:\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z_n$ es un homomorfismo natural, sea $\bar{h}:\mathbb Z[x]\rightarrow\mathbb Z_n[x]$ se define por $\bar{h}(a_0+a_1x+...+a_nx^n)=h(a_0)+h(a_1)x+...+h(a_n)x^n$ . $\bar{h}$ es un homomorfismo.

Demostrar si $\bar{h}(a(x))$ es irreductible en $\mathbb Z_n[x]$ y $a(x)$ es mónico entonces $a(x)$ es irreducible en $\mathbb Z[x]$ .

He visto que en otra pregunta se menciona esta cuestión, pero que yo sepa no se ha respondido. Creo que podríamos suponer $a(x)$ es reducible o=en $\mathbb Z[x]$ Así pues $a(x)=b(x)c(x)$ donde deg $b(x),c(x)<$ deg $a(x)$ . No sé muy bien qué hacer con esto. Probablemente debería utilizar la definición de $\bar{h}$ y $h$ pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Supongamos entonces que $a(x)$ es reducible en $\Bbb Z[x]$ entonces podemos escribir

$a(x) = p(x)q(x), \tag 1$

con $p(x), q(x) \in \Bbb Z[x]$ y $\deg p(x), \deg q(x) \ge 1$ . Si

$\displaystyle a(x) = \sum_0^{\deg a} a_i x^i \in \Bbb Z[x], \tag 2$

$\displaystyle p(x) = \sum_0^{\deg p} p_i x^i \in \Bbb Z[x], \tag 3$

y

$\displaystyle q(x) = \sum_0^{\deg q} q_i x^i \in \Bbb Z[x], \tag 4$

se deduce que

$\deg a = \deg p + \deg q \tag 5$

y también que

$p_{\deg p} \; q_{\deg q} = a_{\deg a} = 1, \tag 6$

desde $a(x)$ es mónico y el coeficiente del primer término de $a(x)$ es el producto de los coeficientes de los términos principales de sus factores $p(x)$ y $q(x)$ . También disponemos de

$\bar h(a(x)) = \bar h(p(x)q(x)) = \bar h(p(x)) \bar h(q(x)); \tag 7$

de lo que se deduce que

$h(a_{\deg a}) = h(p_{\deg p}) h(q_{\deg q}) \in \Bbb Z_n[x]. \tag 8$

Desde $h: \Bbb Z \to \Bbb Z_n$ es el homomorfismo natural, tenemos

$h(1_{\Bbb Z}) = 1_{\Bbb Z_n}; \tag 9$

así

$h(p_{\deg p}) h(q_{\deg q}) = h(a_{\deg a}) = h(1_{\Bbb Z}) = 1_{\Bbb Z_n}, \tag{10}$

lo que a su vez implica

$h(p_{\deg p}), h(q_{\deg q}) \ne 0 \tag{11}$

en $\Bbb Z_n$ de lo que se deduce que, puesto que $h(p_{\deg p}), h(q_{\deg q})$ son respectivamente los coeficientes principales de $h(p(x)), h(q(x)) \in \Bbb Z_n[x]$ que $\deg (\bar h(p(x)), \deg (\bar h(q(x)) \ge 1$ y, por tanto, que ni $\bar(h(p(x))$ ni $\bar h(q(x))$ es constante en $\Bbb Z_n[x]$ . Así $\bar h(a(x))$ es reducible en $\Bbb Z_n[x]$ contrariamente a la hipótesis. Por lo tanto, concluimos que (1) no puede obligar en $\Bbb Z[x]$ es decir, que $a(x)$ es irreducible.