Resolver ecuación diferencial $\frac{dx}{dt}=a-b x-cx(1-x)=cx^2-x(b+c)+a$

Question

Quiero resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden:

$\frac{dx}{dt}=a-b x-cx(1-x)=cx^2-x(b+c)+a$

donde a,b y c son constantes. Reescribí la ecuación:

$\leftrightarrow 1=\frac{1}{cx^2-x(b+c)+a}\frac{dx}{dt}\\ \leftrightarrow \int 1dt=\int \frac{1}{cx^2-x(b+c)+a} dx\\ \leftrightarrow t+k= \int \frac{1}{cx^2-x(b+c)+a} dx\\ \leftrightarrow t+k= \int \frac{1}{c(x-\frac{b+c}{2c})^2+a-\frac{(b+c)^2}{4c}} dx $

para algún número arbitrario k. ¿Cómo resuelvo la última integral? Wolfram-Alpha me dice que es

$\frac{2tan^{-1}(\frac{-c-b+2cx}{\sqrt{-c^2-b^2-2cb+4ca}})}{\sqrt{-c^2-b^2-2cb+4ca}}$

Pero no sé cómo calcularlo por mi cuenta.

Answer 1

El lado derecho tiene dos raíces $r_1, r_2$ . Estas raíces son también soluciones constantes de la EDO. Con estas soluciones la expresión $$ u=\frac{x-r_1}{x-r_2} $$ tiene la derivada $$ u'=-\frac{(r_2-r_1)}{(x-r_2)^2}\,x'=-c(r_2-r_1)u. $$ Esta EDO para $u$ ahora puede resolverse fácilmente. Después de eso, la sustitución inversa da $$ x=\frac{r_2u-r_1}{u-1} $$

Answer 2

Después de completar el cuadrado la integral tiene la forma:

$\int \frac{1}{c(x-\frac{b+c}{2c})^2+a-\frac{(b+c)^2}{4c}} dx=\frac{1}{c}\int \frac{1}{(x-\frac{b+c}{2c})^2+\frac{a}{c}-\frac{(b+c)^2}{4}} $

Definiendo $y:=x-\frac{b+c}{2c}$ y $p^2:=\frac{a}{c}-\frac{(b+c)^2}{4}$ obtenemos:

$\frac{1}{c}\int \frac{1}{(x-\frac{b+c}{2c})^2+\frac{a}{c}-\frac{(b+c)^2}{4}}=\frac{1}{c}\int\frac{1}{y^2+p^2}=\frac{1}{c}\frac{arctan(\frac{y}{p})}{p}+k_1=\frac{1}{c}\frac{arctan(\frac{x-\frac{b+c}{2c}}{\sqrt{\frac{a}{c}-\frac{(b+c)^2}{4}}})}{\sqrt{\frac{a}{c}-\frac{(b+c)^2}{4}}}+k_1$

para un número arbitrario $k_1$ .

Answer 3

El paso principal es convertir la fracción

$$\frac{1}{cx^2+x(b+c)+a}$$ en la forma esperada de las tablas integrales:

$$\int\frac{1}{t^2+q^2}dt=\frac{1}{q}\arctan \frac{t}{q}$$

Sacas el extra $c$ completa el cuadrado y cambia las variables:

$$\frac{1}{c}\frac{1}{\color{red}{(x+\frac{b+c}{2c})}^2-(\frac{b+c}{2c})^2+\frac{a}{c}}$$

Ahora tienes $t=x+\frac{b+c}{2c}$ y $q^2=\frac{a}{c}+(\frac{b+c}{2c})^2$ .