¿Qué significa "pasar a una subsecuencia"?

Question

Sea $\{f_k(x)\}_{k=1}^\infty$ sea una sucesión de funciones diferenciables definidas en $[0,1]$ . Supongamos que $f_k(0)=0$ y $|f_k'(x)|\le M$ para todos $x\in[0,1]$ y para todos $k\ge1$ . Demostrar que después de pasar a una subsecuencia, $f_k$ converge uniformemente en $[0,1]$ como $k\to\infty$ .

En la pregunta anterior, ¿qué se entiende por "después de pasar a una subsecuencia"? Mi interpretación es que debo demostrar que existe una subsecuencia que converge uniformemente en $[0,1]$ como $k\to\infty$ . ¿Es correcto?

Tenga en cuenta que no estoy pidiendo $why$ pasamos a una subsecuencia. Pregunto $what$ pasar a una subsecuencia significa.

Answer 1

El término "pasar a una subsecuencia" significa considerar una subsecuencia en lugar de la secuencia original. Sin embargo, para evitar que la notación sea más engorrosa, la subsecuencia mantiene el mismo nombre que la secuencia original.

Por ejemplo, consideremos una secuencia $\{a_n\}$ y la sucesión $a_{n_1}, a_{n_2},\ldots$ . Podríamos expresarlo como $\{a_{n_i}\}$ pero esto sería incómodo. Como los índices específicos de la subsecuencia no importan (en algunos casos), simplemente renombramos la subsecuencia para que tenga el nombre de la secuencia original.

Para el problema concreto planteado, se le pide que demuestre no que $\{f_k\}$ converge uniformemente, pero que existe alguna $k_1, k_2,\ldots \subseteq \mathbb{N}$ tal que $\{f_{k_i}\}$ converge uniformemente.

Answer 2

Como mi reputación está en este momento por debajo de 50, no puedo añadir un comentario para responder a @zsbrads2, así que respondo aquí. Sobre todo, me gustaría dirigiros a todos hacia los comentarios en ¿Por qué es necesario "pasar a una subsecuencia"? donde la pregunta está casi respondida.

Pasando a una subsecuencia nos deshacemos de los elementos menos convenientes. La subsecuencia pertinente dependerá del problema concreto, así como de las técnicas utilizadas.

Por cierto, la afirmación que quieres demostrar, tal y como está formulada, es falsa. Considere la secuencia en la que $f_{2n} = \frac{M}{2}x^2$ y $f_{2n+1} = {M}x$ . Todas ellas tienen sus primeras derivadas acotadas por $M$ y son $0$ en $0$ por lo que satisfacen las hipótesis. Sin embargo, no hay convergencia uniforme, ya que la secuencia sigue oscilando entre estas dos funciones ad infinitum.