¿Qué pasa con los surreales?

Question

De todas las construcciones de los reales, la construcción a través de los surreales me parece la más elegante.

Parece captar inmediatamente la ordenación total y la precisión de los cortes Dedekind a un nivel fundamental, ya que la definición de un número se basa totalmente en cómo se ordenan las cosas. Evita, o al menos simplifica, la cuestión de la convergencia de las secuencias de Cauchy. Y, naturalmente, trasciende la finitud sin sacrificar la conciencia de la misma.

El único "rumor" que he oído constantemente es que es difícil definir de forma natural integrales y derivadas en los surreales, aunque todavía no he visto una justificación técnica sólida de ello.

¿Existen resultados conocidos que sugieran que deberíamos evitar seguir estudiando esta construcción, o que muestren las limitaciones de la misma?

Answer 1

El propio Conway enumera algunas desventajas en Sobre números y juegos Capítulo 2.

Una que se puede solucionar rápidamente es que es bastante complicado hacer que el proceso stop ¡después de construir los reales! Podemos remediarlo añadiendo a la construcción la condición de que si $L$ no es vacío pero no tiene el mayor miembro, entonces $R$ es no vacía sin miembro mínimo, y viceversa. Esto nos restringe felizmente exactamente a los reales. Las desventajas restantes son que los racionales diádicos reciben un tratamiento curiosamente especial y que las definiciones inductivas son de carácter inusual. Desde un punto de vista puramente lógico, se trata de objeciones sin importancia (discutiremos los problemas de inducción más adelante con más detalle), pero me predispondrían en contra de enseñar esto a los estudiantes universitarios como "la" teoría de los números reales.

[Editar: He interpretado la pregunta como, ¿qué hay de malo en la construcción de los números reales a través de los surreales? Esto puede haber sido un error de interpretación. Al fin y al cabo, la pregunta se refiere literalmente a qué tienen de malo los surreales. Evidentemente, los surreales no tienen nada de malo. Pensé que esto era obvio y por eso asumí que la pregunta debía ser otra cosa].

Answer 2

Algo que podría aumentar las reservas de números surrealistas es que el enfoque genético nos diera una buena forma de definir las funciones que necesitan los matemáticos. Aquí voy a fantasear un poco: ¿Y si algún tipo de procedimiento genético fuera la forma correcta de construir una función admisible (en el sentido de "New upper bounds on sphere packings I" de Cohn y Elkies) que permitiera utilizar su Teorema 3.2 para demostrar la optimalidad del mejor empaquetamiento de esferas conocido en dimensión 8? Me apresuro a añadir que no conozco ninguna razón por la que un procedimiento de construcción genética pueda ser útil en este caso. La "función perdida" de Cohn y Elkies es sólo un ejemplo de una función matemática que debería existir pero que no sabemos cómo construir. Es probable que en algún momento alguien encuentre una construcción que "salga del campo izquierdo". Si el análisis surrealista sirviera como "campo izquierdo", más gente se interesaría por él.

Answer 3

Una búsqueda rápida indica que los axiomas de Peano no se mencionan en esta página. Parece razonable mencionar que no parece haber una buena noción de número natural en los surreales que satisfaga la aritmética de Peano. Por otro lado, un campo surreal de tamaño de clase máximo es isomorfo a un campo hiperreal de tamaño de clase máximo adecuado, por lo que los hiperintegros pueden importarse al otro lado, y con ellos todas las propiedades de primer orden requeridas.

Answer 4

No se trata de una cuestión importante, pero se hizo una observación en la tesis de máster que puede consultarse en la siguiente dirección http://www.mamane.lu/concoq/ que hay una pequeña laguna en la prueba de la transitividad de la relación de orden en el libro original de Conway. Véase el informe, páginas 49-53.