¿Qué pasa con los surreales?

Question

De todas las construcciones de los reales, la construcción a través de los surreales me parece la más elegante.

Parece captar inmediatamente la ordenación total y la precisión de los cortes Dedekind a un nivel fundamental, ya que la definición de un número se basa totalmente en cómo se ordenan las cosas. Evita, o al menos simplifica, la cuestión de la convergencia de las secuencias de Cauchy. Y, naturalmente, trasciende la finitud sin sacrificar la conciencia de la misma.

El único "rumor" que he oído constantemente es que es difícil definir de forma natural integrales y derivadas en los surreales, aunque todavía no he visto una justificación técnica sólida de ello.

¿Existen resultados conocidos que sugieran que deberíamos evitar seguir estudiando esta construcción, o que muestren las limitaciones de la misma?

Answer 1

En una reciente conferencia en París sobre Filosofía y teoría de modelos (en la que también intervine), Philip Ehrlich dio una fascinante charla sobre los números surrealistas y sus nuevos desarrollos, mostrando que unifican muchos caminos dispares en matemáticas. El resumen está disponible aquí, en la página 8 y aquí su artículo sobre la Continuo aritmético absoluto . La principal novedad técnica se centra en el árbol subyacente.

Philip expresó su frustración por el hecho de que Conway tratara a menudo su creación de números surrealistas como una especie de juego o proyecto para divertirse -una actitud reforzada por el excelente libro de Knuth-, cuando en realidad son un profundo desarrollo matemático que unifica hilos dispares de investigación matemática en una única estructura unificadora. Y en la conferencia defendió esta postura con argumentos muy sólidos.

Entretanto, quizá para demostrar lo que dice Philip, en una conferencia sobre lógica y juegos aquí en la CUNY, oí una vez a Conway describir los números surreales como una de las grandes decepciones de su vida, que después de todo no parecían tener la profunda naturaleza unificadora que él (y muchos otros) pensaban que podrían tener. Philip Ehrlich se esforzó por demostrar que Conway fue su peor enemigo al promover los surreales, y que en realidad tienen la naturaleza unificadora que Conway pensaba que tenían, pero que Conway asustó a la gente alejándola de esta perspectiva al tratarlos como un juguete. Te animo a que leas los artículos de Philip.

Así que mi respuesta, apoyando a Philip, es que nada está mal con los surreales ¡por favor, a por ellos! Por supuesto, tienen sus propios problemas, que habrá que superar, pero todos nos beneficiaremos de una mayor investigación sobre ellos.

Answer 2

Para mí uno de los aspectos más fascinantes de los surreales es su aplicación por Kruskal y otros para construir expansiones asintóticas de orden superior. Por ejemplo, si quieres entender la asintótica de la función $$f(x)= {1\over 1-x}+e^{-1/x}$$ en $(0,\epsilon)$ y diferenciarlo de $g(x)={1\over 1-x}$ miras la "serie" $$1+x+x^2+x^3+\dots+e^{-1/x}.$$ Kruskal y sus coautores han utilizado números surreales para dar una aproximación a estas expansiones y aplicaciones.

Este tipo de expansión también puede tratarse utilizando la transerie de Ecalle o la series logarítmico-exponenciales desarrolladas en la teoría de modelos.

Answer 3

Se trata más de una nota a pie de página de la respuesta de Nombre que de una respuesta propiamente dicha. Como sugieren las observaciones de Nombre, estoy totalmente de acuerdo en que la jerarquía de simplicidad algebraico-arbóreo-teórica es fundamental para los surreales. $\mathbf{No}$ no es sólo un campo ordenado monstruoso que contiene los reales y los ordinales.

A continuación se enumeran algunos trabajos recientes sobre los surreales que hacen un uso crítico de la jerarquía de simplicidad y, por tanto, dan crédito a las observaciones de Nombre. Es sólo el principio de una nueva ola de trabajos que están realizando actualmente teóricos de modelos, algebristas de orden y analistas que aprovechan $\mathbf{No}$ estructura jerárquica de simplicidad.

Berarducci, A. y Mantova, V. (2018): Números surreales, derivaciones y transeries Journal of the European Mathematical Society 20, pp. 339-390. arixv:1503.00315 .

Berarducci, A. y Mantova, V. (de próxima publicación): Las transeries como gérmenes de funciones surrealistas Transactions of the American Mathematical Society, arXiv:1703.01995 .

Aschenbrenner, M., van den Dries, L. y van der Hoeven, J. (2018): Números, gérmenes y transeries Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Río de Janeiro, 2018, arXiv:1711.06936 .

Aschenbrenner, M., van den Dries, L. y van der Hoeven, J. (de próxima publicación): Números surrealistas como universales $H$ -campo Revista de la Sociedad Matemática Europea arXiv:1512.02267 .

Ehrlich, P. y Kaplan, E.: Sistemas de números con jerarquías de simplicidad: una generalización de la teoría de los números surreales II de Conway , The Journal of Symbolic Logic 83 (2018), nº 2, pp. 617-633, arXiv:1512.04001 .

Kuhlmann, S. y Matusinski, M. Las clases de equivalencia exponencial-logarítmica de los números surreales Orden 32 (2015), n.º 1, 53-68. arXiv:1203.4538 .

Costin, O., Ehrlich, P. y Friedman, H. (24 de agosto de 2015): Integración en los surreales: una conjetura de Conway, Kruskal y Norton preprint, arXiv:1505.02478 .

El último artículo es una versión bastante antigua de un artículo que se está revisando y que acabará convirtiéndose en dos artículos distintos.

Edita. 17 de mayo de 2020.

El siguiente artículo reciente de Elliot Kaplan y mío da más credibilidad a la idea de que la jerarquía de simplicidad algebraico-árbol-teórica es de vital importancia para los surreales.

Campos exponenciales surrealistas ordenados : ( https://arxiv.org/abs/2002.07739 )

Resumen: En (Ehrlich, J Symb Log, 66, 2001: pp. 1231-1266), la estructura jerárquica de simplicidad algebraico-árbol-teórica del campo ordenado de J. H. Conway $\mathbf{No}$ de los números surrealistas se puso en primer plano y se empleó para proporcionar condiciones necesarias y suficientes para un campo ordenado (ordenado $K$ -) sea isomorfo a un subcampo inicial ( $K$ -subespacio) de $\mathbf{No}$ es decir, un subcampo ( $K$ -subespacio) de $\mathbf{No}$ que es un subárbol inicial de $\mathbf{No}$ . En esta secuela de (Ehrlich, J Symb Log, 66, 2001: pp. 1231-1266), apoyándose en los resultados que acabamos de exponer, se establecen resultados análogos para campos exponenciales ordenados . Se demuestra además que una amplia gama de campos exponenciales ordenados son isomorfos a subcampos exponenciales iniciales de $(\mathbf{No}, \exp)$ . Estos incluyen todos los modelos de $T(\mathbb{R}_W, e^x)$ donde $\mathbb{R}_W$ son los reales expandidos por a sistema convergente de Weierstrass $W$ . De estos, los que llamamos campos trigonométrico-exponenciales se les presta especial atención. Se demuestra que las funciones exponenciales en los subcampos trigonométrico-exponenciales iniciales de $\mathbf{No}$ que incluye $\mathbf{No}$ se extienden a canónico funciones exponenciales en sus surcomplex contrapartidas. Para ello se utiliza el resultado precursor de que los subcampos iniciales trigonométrico-exponenciales de $\mathbf{No}$ y subcampos iniciales ordenados trigonométricos de $\mathbf{No}$ En general, admite canónico funciones seno y coseno. Se demuestra que esto se aplica a los miembros de una distinguida familia de subcampos exponenciales iniciales de $\mathbf{No}$ a la imagen del mapa canónico del campo exponencial ordenado $\mathbb{T}$ de transseries en $\mathbf{No}$ que se muestra como inicial, y a los campos exponenciales ordenados $\mathbb{R}((\omega))^{EL}$ y $\mathbb{R}\langle\langle\omega\rangle \rangle$ que también son iniciales.

Answer 4

Aprovecho esta pregunta para proponer una respuesta en la línea de la de Philip Ehrlich, y hacer un poco de publicidad para $\mathbf{No}$ .

Siento que los números surrealistas debe ser atractivas por varias razones, además de los interesantes resultados que se han demostrado recientemente en relación con ellas. Mi sensación es que no lo son en cierta medida porque $\mathbf{No}$ se conoce sobre todo como un modelo monstruoso para la teoría de campos reales cerrados, aunque con una bonita definición inductiva.

Permítanme recordar un propiedad fundamental ( FP ) de $\mathbf{No}$ .

El orden lineal $(\mathbf{No},\leq)$ está dotado de un orden parcial bien fundado $\leq_s$ de sencillez donde para los números $x,y$ tenemos $x\leq_s y$ si como secuencias de signos, tenemos $x\subseteq y$ .

FP : Si $L,R$ son conjuntos de números surreales con $L<R$ (es decir $\forall l \in L,\forall r \in R, l<r$ ), existe un único $\leq_s$ -número surreal mínimo $x$ satisfaciendo $L<x<R$ .

Esto, junto con el hecho de que para $x\in \mathbf{No}$ la clase de números $z$ con $z<_s x$ es un conjunto, caracteriza la clase $(\mathbf{No},\leq,<_s)$ hasta isomorfismo único. Nótese que esta propiedad fundamental es una combinación muy bonita y rara: saturación de orden + canonicidad. En mi opinión, sólo eso ya es una cualidad deseable.

En FP permite definir fácilmente muchas operaciones sobre $\mathbf{No}$ , como hizo Conway con las operaciones de campo y la forma normal, como hizo Kruskal-Gonshor con la exponenciación, y ésas son sólo la punta del iceberg. Así que $\mathbf{No}$ es simplemente divertido jugar con él, sobre todo porque las operaciones fácilmente definidas pueden ser muy difíciles de estudiar. Básicamente, $\mathbf{No}$ es un inmenso campo de juego para matemáticos curiosos interesados en nociones relacionadas con el orden, ya que muchas definiciones que sólo son coherentes con el orden pueden ser lanzadas a la existencia en $\mathbf{No}$ .

Sin embargo, la noción de simplicidad ha sido algo minimizada por Conway, que se centró más bien en la noción de precocidad (e incluso Harry Gonshor, que la utilizó mucho, no le dedicó un símbolo). La propiedad fundamental se toma a menudo como una herramienta destinada a definir las operaciones de campo, más que como un maravilloso hechizo matemático con diversos usos. Esta imagen, en la que $\mathbf{No}$ es un gran campo ordenado que contiene los ordinales y los números reales, oculta la verdad de que los números surreales pueden contar muchas otras historias.

Answer 5

Acabo de leer el epílogo de On Numbers and Games, sugerido por Timothy Chow, y en él veo referencias muy concretas a algunas dificultades técnicas que pueden desmitificar algunas investigaciones en este campo, aunque por otras respuestas se ve que sigue habiendo mucho optimismo.

Algunas observaciones basadas en el epílogo (escrito en 2000 por Conway):

Existe una buena definición de los surreales que no requiere la igualdad como relación definida. No está dada formalmente, pero supongo que podemos pensar en ella como un mapeo de un conjunto ordinal a signos {-,+}, siendo cada signo una dirección que tomamos en el árbol surreal. Entonces identidad es igualdad.

Sin embargo, Conway señala que esto tiene dos problemas:

1. Abandona el enfoque "genético" (su palabra, también entre comillas al principio) de la definición L,R. No lo entiendo del todo, pero supongo que quiere decir que estamos construyendo todo sobre la intuición de una ordenación total (y quizá una idea de "tiempo de creación"), y los surreales siempre serán identificables con conjuntos L,R, así que ¿por qué no definirlos así?

2. La definición de la secuencia de signos requiere que se definan primero los ordinales.

A continuación, Conway analiza los trabajos de Simon Norton (una propuesta de definición de integral) y Martin Kruskal.

La dirección general aquí es definir las cosas en términos de (L,R) conjuntos (¿clases??) de tal manera que números iguales (en la igualdad definida) den respuestas iguales; y que el análisis clásico permanezca intacto.

Conway da la definición integral de Norton, que tiene algunas buenas propiedades, pero falla al integrar la función surreal-exponencial de acuerdo con el análisis clásico (obtenemos e x en lugar de e x -1 al integrar sobre [0,x]).

En resumen, estoy optando por interpretar todos estos comentarios y respuestas juntos (gracias a todos) como: los surreales son de hecho una construcción que vale la pena, aunque hay una notable falta de progreso en la ampliación del cálculo para trabajar con la misma elegancia en un entorno surreal-general.

Por si a otros les pica la curiosidad, he aquí algunas referencias (aún no he leído ninguna de ellas) que Conway da en este epílogo:

• Teoría de los números surrealistas por Harry Gonshor
• Fundamentos del análisis sobre campos de números surreales por Norman Alling
• Números reales, generalizaciones de los reales y teorías de los continuos por Philip Ehrlich