Para $\psi : R \to \prod^n_{i=1}R/I_i$ ¿tenemos $\ker(\psi)=\cap^n_{i=1}\ker(\pi_i)$ ?

Question

Sea $R$ sea un anillo y $I_i$ ser ideales. Sea también $\pi_i: R \to R/I_i$ sea la proyección y $\psi : R \to \prod^n_{i=1}R/I_i$ sea un homomorfismo. ¿Es siempre cierto que $\ker(\psi)=\cap^n_{j=1}\ker(\pi_j)$ ?

Answer 1

Claramente $\ker(\pi_i)=I_i$ . Por definición de $\ker$ :

$$\ker(\psi)=\{x\in R\mid \pi_i(x)=0\ \forall\,i\} = \{x\in R\mid x\in I_i\ \forall\,i\} = \bigcap_{i=1}^n I_i$$