$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k$ diverge hasta el infinito

Question

Supongamos que $\{x_n\}_n$ es una sucesión de números reales positivos tal que $x_n\rightarrow 0$ un $n\to\infty$ .

¿Existe alguna secuencia tal que $$\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k$$ diverge hacia el infinito como $n\to\infty$ ?

Cualquiera puede comprobarlo $\sum_n \frac{1}{n}$ no es tal secuencia. En realidad, ¿existe realmente tal secuencia?

Answer 1

Si una secuencia $(x_n)_n$ está limitada por una constante $M$ (como una secuencia convergente) entonces $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k\leq \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}M=M,$$ que es la secuencia $(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k)_n$ también está acotada (no diverge hacia el infinito).

Answer 2

Stolz-Cesàro da,

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_{k}=\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{(n+1)-n}=0$$