Factorial de una matriz: ¿para qué puede servir?

Question

Recientemente en este sitio, el se planteó la cuestión cómo podríamos definir la operación factorial $\mathsf{A}!$ en una matriz cuadrada $\mathsf{A}$ . En responder quizás no resulte sorprendente, tiene que ver con la Función gamma .

¿Para qué puede servir tomar el factorial de una matriz? ¿Se te ocurre alguna aplicación, o esto -por ahora*- parece restringido al ámbito de las matemáticas recreativas?

(*Hasta que, por ejemplo, la física teórica resulte tener una utilidad para esto, como ocurrió con Múltiplos de Calabi-Yau y teoría de supercuerdas ...)

Answer 1

He podido encontrar las siguientes referencias que toman el uso de la matriz factorial para un contexto aplicado concreto:

Transformada coherente, cuantización y geometría de Poisson: En su Libro Mikhail Vladimirovich Karasev utiliza, por ejemplo, la matriz factorial para hipersuperficies y funciones hipergeométricas retorcidas.

Algoritmos y aplicaciones de inteligencia artificial: En este actas de la conferencia la matriz de probabilidad bayesiana factorial se utiliza en el contexto de la clasificación de los métodos de imputación de los datos de tráfico que faltan.

Modelo de fluido: Mao, Wang y Tan tratan en su papel (Journal of Applied Mathematics and Computing) con un modelo de fluido impulsado por un $M/M/1$ cola con múltiples vacaciones exponenciales y $N$ -política.

Construcción de estados coherentes para sistemas cuánticos multinivel: En su papel "Estados coherentes vectoriales con problemas de momentos matriciales" Thirulogasanthar y Hohouéto utilizan el factorial matricial en el contexto de la física cuántica.

Optimización de algoritmos : Aunque se trata de un campo de aplicación más teórico, me gustaría mencionar también este caso de uso del factorial matricial. Vladica Andreji, Alin Bostan y Milos Tatarevic presentan en su papel algoritmos mejorados para calcular los residuos factoriales izquierdos $!p=0!+1!+\ldots+(p1)!\bmod{p}$ . Confirman que no hay primarias socialistas $p$ avec $5<p<2^{40}$ . Puede echar un vistazo a un Versión arXiv de este documento.

Answer 2

El factorial tiene una interpretación directa en términos de automorfismos/permutaciones como el tamaño del conjunto de automorfismos.

Una posible generalización de las matrices es la doble categoría de los vanos.

Entonces un automorfismo $ R ! = R \leftrightarrow R $ en un tramo $A \leftarrow R \rightarrow B$ debería ser una generalización razonable.

Normalmente me resulta más fácil pensar en términos de profunctores o relaciones que de tramos.

El hom residual/interno de los profunctores $(R/R)(a, b) = \forall x, R(x, a) \leftrightarrow R(x, b) $ es una extensión kan. La extensión kan de un functor consigo mismo es la mónada de codensidad. Para profunctores y spans el automorfismo debería ser un groupoide (una mónada en la categoría de endospans dotada de inversos.)

El factorial es el tamaño del grupo de automorfismo de un conjunto. El grupo de automorfismo debería generalizarse a un "grupo de automorfismo" de un span. Sospecho que la permutación de una matriz debería ser un grupo de automorfismo enriquecido en Vect, pero esto me confunde.