Equivalencia de $\pi$ es el primer positivo de cero de la serie de taylor para $\sin(x)$ $\pi/4 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$

Question

Para $x\in\mathbb{R}$, definir $\sin (x) = x - x^3/3!+x^5/5!-\cdots$$\pi = 4(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5} -\frac{1}{7}+\cdots)$. A continuación, mostrar que $\sin(\pi/2) = 1$

En el prólogo de la Real y Complejo Análisis por Walter Rudin, pi se define como el primer positivo de cero de la serie se define como $\sin(x)$; quiero comprobar que pi es igual a la anterior define Pi.

Answer 1

He aquí una descripción detallada de cómo hacer esto de una forma bastante estándar de la línea de desarrollo de las funciones trigonométricas a partir de su poder serie de definiciones.

(Un "enchufe" combinatoria prueba sería genial ver también, por supuesto.)

Paso 1. Mostrar las identidades trigonométricas básicas (doble ángulo de fórmulas y $\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1$) para la serie de taylor de las definiciones de $\sin(x)$$\cos(x)$.

[El doble ángulo fórmulas son agradables para demostrar el uso de la energía de la serie de $e^x$. La segunda es inmediata después de la diferenciación.]

Paso 2. Deje $pi$ (no el símbolo griego por ahora) ser la primera raíz de $\sin(x)$. A partir de la derivada de $\sin(x)$ a cero y el teorema del valor intermedio, tenemos que $\sin(x) > 0$$0 < x < pi$.

Paso 3. El uso de identidades trigonométricas para mostrar que $\sin(2x) = 0$ si y sólo si $\sin(x) = 0$ o $\cos(x) = 0$. A la conclusión de que $x = pi/2$ es la primera vez que $\cos(x) = 0$.

Paso 4. Deje $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Mostrar que $\frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{\cos(x)^2}$. A la conclusión de que $\tan(x)$ está bien definido, creciente y no acotada en $(-pi/2,pi/2)$.

Paso 5. Definir $\arctan(x)$ a ser la inversa de a $\tan(x): (-pi/2,pi/2) \rightarrow \mathbb{R}$. Mostrar que $\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$ de identidades trigonométricas.

Paso 6. Mostrar que $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$ a partir de la expansión de la serie de $\frac{1}{1+x^2}$ y la diferenciación de potencia de la serie de teoremas y el hecho de que $\tan(0) = 0$. Esto converge y, por tanto, es válida en $(-1,1)$.

Paso 7. La serie converge para $x = 1$ y por lo tanto (por un teorema sobre la alimentación de convergencia de series), obtenemos $\arctan(1) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots$. Así es mostrar a $2 \arctan(1) = pi/2$.

Paso 8. Show de identidades trigonométricas que $\tan(x) = \pm 1$ si y sólo si $\sin(x) = \pm \cos(x)$ si y sólo si $\cos(2x) = 0$. A la conclusión de que $2 \arctan(1) = pi/2$, como se desee (debido a $2 \arctan(1)$ debe ser el primer cero de $\cos(x)$).

Answer 2

primer intento: no tengo una respuesta, pero aquí están algunas ideas sobre este problema. Vamos $$S = x - x^3/3! + x^5/5!-\cdots \mbox{ and }C = 1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots $$

(a) derivar ecuaciones diferenciales $\frac{dS}{dx} = C, \frac{dC}{dx} = -S$

(b) muestre $S^2 + C^2 = 1$

(c) establecer que el $C > 0, S > 0 \mbox{ for some $\delta > 0$ and } 0 < x < \delta $

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no veo cómo utilizar la serie de $\pi.$

aquí está mi segundo intento en el uso de la serie de $\pi.$ definir una función $t$ por $$ t = \int_0^m {du \over 1 + u^2}, -\infty < m < \infty$$ vamos a establecer, en primer lugar:

(a) $\ t(\infty) = 2t(1)$

(b) $\ t(1) = \pi/4, t(\infty) = \pi/2$

(c) $\ t$ es una función impar y es cada vez mayor en $(-\infty, \infty)$

(d) $\displaystyle {dt \over dm} = {1 \over 1 + m^2}$

la prueba de (a):

$\begin{eqnarray} t(\infty) &=&\int_0^\infty {du \over 1 + u^2}= t(1) + \int_1^\infty{du \over 1 + u^2} = f(1) + \int_1^0 {d(1/u) \over 1 + (1/u)^2}\\ &=& t(1) + \int_0^1 {du \over 1 + u^2} = 2t(1). \end{eqnarray}$

$$t(1) = \int_0^1 {du \más de 1 + u^2} = \int_0^1 (1 - u^2 + u^4 + \cdots) du = \{u - u^3/3 + u^5/5 + \cdots \}|_0^1 = \pi/4$$

Ahora vamos a definir los $m$ $-\pi/2, \pi/2)$ como la función inversa de la $t.$ $m$ tiene las siguientes propiedades:

(a) $m$ es impar y el aumento en $(-\pi/2, \pi/2)$

(b) $m(0) = 0, m(\pi/4) = 1, m(\pi/2 -) = \infty$

(c) $\displaystyle {dm \over dt} = 1 + m^2$

ahora defina $$c = {1 \over \sqrt{ 1 + m^2}} \mbox{ on the interval } 0 \le t < \pi/2 \mbox{ set } c(\pi/2) = 0 \mbox{ to make it continuous at } t = \pi/2. $$

Mi objetivo es mostrar las propiedades genéricas de $c = \cos$ y para encontrar la Mclaurin de expansión de la serie acerca de la $x = 0$

Voy a volver a ella más tarde, pero si alguien quiere seguir son bienvenidos a hacerlo.

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Las propiedades de $m$ hace $$c(0) = 1, c(\pi/4) = 1/\sqrt 2, c(\pi/2) = 0, c \mbox{ is decreasing } 0 \le x \le \pi/2.$$

Vamos a establecer la serie de Mclaurin $c$ por la búsqueda de segundo orden de la ecuación diferencial satisfecho por $c.$

La diferenciación $ c^2(1+m^2) = 1$ y el uso de ${dm \over dt} = 1 + m^2,$ nos encontramos con que $c$ satisface la ecuación diferencial $${dc \over dt} = -mc$$ We also have $\frac{dc}{dt} = 0$ at $t = 0.$ La diferenciación de una vez más

$$ {d^2c \over dt^2 } = -c, \ c(0) = 1,\ c^\prime(0) = 0 $$ which gives the series $$c = 1 - t^2/2! + t^4/4! + \cdots $$ and we have shown that $$c(\pi/2) = 0$$ where $\pi$ is defined by $$\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 + \cdots. $$

Si uno necesita cosas acerca de $\sin$ definir $\sin = \sqrt{1-c^2}$ y obtener una similar segundo orden de la ecuación diferencial para $s$.