Demostrar que existe un número infinito de pares de números primos para los que $F(n)F(n+1) =pq $ para no $n>1 \in \mathbb{N}$ , $F(n)$ es la función GPF

Question

Demostrar que existe un número infinito de pares de números primos para los que $F(n)F(n+1) = pq $ no se cumple para ningún $n>1 \in \mathbb{N}$ , $F(n)$ es la función GPF

He estado intentando resolver este problema relacionado con la función del mayor factor primo (A006530). Dos números primos tienen la propiedad deseada si su producto es igual al producto del GPF de dos números naturales consecutivos. Un breve vistazo a la función revelará que, efectivamente, muchos de los primos pequeños funcionan, pero se supone que obtenemos un número infinito de pares que no pueden tener la propiedad.

¿Cómo abordar este problema? OEIS no proporciona ninguna información útil sobre la función en sí, así que ¿tal vez algo relacionado directamente con las distribuciones primarias?

Gracias de antemano, espero sus comentarios.

Answer 1

Para cualquier número primo impar $p$ la pareja $(p, F(p+1))$ tiene la propiedad deseada. En $p > F(p+1)$ estos pares son todos distintos. Dada la infinidad de números primos Impares, la afirmación queda demostrada.

Answer 2

Construir un par: Sea $p$ sea un primo impar tal que $2^p-1$ es compuesto. Entonces $2^p-1$ no es una potencia prima por Teorema de Mihailescu por lo que podemos definir $q$ como su segundo mayor factor primo. Afirmo que no existen números enteros $n>1$ avec $F(n)F(n+1)=2q$ .

Prueba: Por contradicción. Supongamos que tal $n$ existe. Consideramos dos casos. En primer lugar, si $F(n)=2$ entonces $n=2^m$ para algún número entero $m$ y $2^m\equiv -1\pmod q$ . Sin embargo, $2$ tiene orden $p$ en $\mathbb{F}_q^\times$ y $-1$ tiene orden $2$ . Esto da lugar a una contradicción, ya que $q$ es impar.

Siguiente, $F(n+1)=2$ . Entonces $n=2^m-1$ para algún número entero positivo $m$ Así que $2^m\equiv 1\pmod q$ . Debido a que el período de $2$ en $\mathbb{F}_q^\times$ es $p$ se deduce que $p\mid m$ de donde $2^p-1\mid 2^m-1$ por lo que el mayor factor primo de $2^p-1$ (que, por construcción, es mayor que $q$ ) divide $2^m-1$ . De nuevo, tenemos una contradicción.

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¿Este método da infinitos pares? Es fácil ver que cada "semilla primaria $p$ da un primo diferente $q$ ya que si $q\mid 2^{p_1}-1,2^{p_2}-1$ entonces $2$ habría pedido tanto $p_1$ y $p_2$ en $\mathbb{F}_q^{\times}$ lo cual es absurdo cuando $p_1\neq p_2$ .

Por lo tanto, este método produce infinitos pares si y sólo si existen infinitos primos $p$ tal que $2^p-1$ es compuesto. Los primos de Mersenne son extremadamente raros, por lo que hay pruebas abrumadoras, pero no conozco (todavía) una demostración.