Por definición, $\operatorname{coker}(f)=N/f(M)$ por lo que se puede considerar la restricción de la proyección canónica $N\to N/f(M)$ a $\ker(g)$ Llámalo $\beta$ .
Considere también el mapa $\alpha\colon\ker(gf)\to\ker(g)$ donde $\alpha(x)=f(x)$ es decir, la restricción de $f$ a $\ker(gf)$ . Está bien definido como $x\in\ker(gf)$ implica $f(x)\in\ker(g)$ .
Quiere demostrar que la imagen de $\alpha$ es igual al núcleo de $\beta$ .
Por definición, $\beta\alpha=0$ lo que demuestra una inclusión.
Supongamos que $y\in\ker(\beta)$ . Esto significa, por definición, $y=f(x)$ para algunos $x\in M$ . Desde $y\in\ker(g)$ tenemos $0=g(y)=gf(x)$ Así que $x\in\ker(gf)$ .
Una guía paso a paso.
El mapa $\beta\colon\ker g\to N/f(M)=\operatorname{coker}(f)$ se define por $\beta(y)=y+f(M)$ (la restricción a $\ker(g)\subseteq N$ del mapa de proyección $N\to N/f(M)$ ).
El mapa $\alpha\colon \ker(gf)\to \ker(g)$ se define por $\alpha(x)=f(x)$ . Esto está bien definido, porque si $x\in\ker(gf)$ entonces $gf(x)=0$ Así que $f(x)\in\ker(g)$ . Es obviamente un homomorfismo.
Supongamos que $y\in\operatorname{im}(\alpha)$ . Es decir $y=f(x)$ para algunos $x\in\ker(gf)$ . Por lo tanto $\beta(y)=y+f(M)=f(x)+f(M)=0+f(M)$ Así que $y\in\ker(\beta)$ .
Por el contrario, supongamos $y\in\ker(\beta)$ . Es decir $y+f(M)=0+f(M)$ Eso es, $y\in f(M)$ . Por lo tanto $y=f(x)$ para algunos $x\in M$ . Desde $y\in\ker(g)$ por suposición, también tenemos $g(y)=0$ Por lo tanto $gf(x)=0$ . Por lo tanto $x\in\ker(gf)$ y así $y=\alpha(x)$ (por definición de $\alpha$ ). En consecuencia $y\in\operatorname{im}(\alpha)$ .
