Cálculo variacional con la función lagrangiana no dependiente explícitamente de $y'$

Question

El problema estándar en cálculo variacional es que dada la funcional

$F[f]=\int_a^b \textrm{d}x f(x, y, y'),$ donde $y\equiv y(x)$ ,

encontrar $y(x)$ que extremiza $F[f]$ en las condiciones límite: $y(a)=y_a$ y $y(b)=y_b$ .

Extremizing $F[f]$ da lugar a las ecuaciones de Euler-Lagrange que son esencialmente EDO que $y(x)$ que luego se resuelven bajo las condiciones de contorno dadas para obtener el $y(x)$ .

Mi pregunta es: ¿Funcionará este formalismo para funciones $f$ que no dependen de la derivada de y?

En el contexto de mi problema simplemente aplicando lo anterior se obtiene una ecuación en y(x) -- por tanto no es una EDO y por tanto no hay razón para esperar que dicha ecuación satisfaga las condiciones de contorno y de hecho no lo hace.

Quiero saber cuál es la dificultad conceptual en estos casos. Por lo que entiendo tiene que ver con el hecho de que sólo cuando tenemos una dependencia explícita de la derivada de $y$ en $f$ que obtendríamos una EDO en $y$ y entonces se convierte en un problema estándar de resolución de la EDO bajo las condiciones de contorno dadas. Sin embargo, no estoy del todo seguro.

Además, ¿hay alguna otra forma de resolver estos problemas?

Cualquier observación o referencia sería de gran ayuda.

Answer 1

De forma más general, los problemas variacionales con un $N$ Lagrangiano de orden 'th $$L(x,y(x), y^{\prime}(x), y^{\prime\prime}(x),\ldots, y^{(N)}(x)),$$ con 1 variable independiente $x$ tiene genéricamente un Ecuación EL que es un ODE de orden $2N$ y, por lo tanto, requiere $2N$ condiciones de contorno (BC) para estar bien planteadas. Más condiciones de contorno sobredeterminarían la solución de la ecuación EL.

Volviendo a la pregunta del OP, a $0$ Lagrangiano de orden 'th $L(x,y(x))$ [que corresponde a una estático problema si identificamos $x$ con tiempo] genéricamente no necesita BCs.