Sea $\mathbb{R}$ con topología cofinita entonces subconjunto infinito de $\mathbb{R}$ ¿lo es?

Question

Pregunta : let $_1$ sea la topología habitual en $\mathbb{R}$ y $_2$ sea la topología cofinita en $\mathbb{R}$ entonces $\mathbb{Z}$ est

(a) cerrado en $(\mathbb{R},_1)$ pero no en $(\mathbb{R},_2)$

(b)cerrado en $(\mathbb{R},_2)$ pero no en $(\mathbb{R},_1)$

(C) cerrado en ambos $(\mathbb{R},_1)$ y $(\mathbb{R},_2)$

(d) cerrado ni en $(\mathbb{R},_1)$ y $(\mathbb{R},_2)$

Mi intento que conocemos bajo la topología habitual, $\mathbb{Z}$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ y por lo tanto $\mathbb{Z}$ está cerrado en $(\mathbb{R},_1)$ . Pero, no estoy seguro de $(\mathbb{R},_2)$ por favor ayudenme..

Answer 1

Esta es una de esas preguntas que son mucho más fáciles de responder de lo que parece. Como sugieren los diversos comentarios anteriores, basta con respirar hondo y pensar detenidamente (¡y despacio!) en las definiciones implicadas para luego responder a estas preguntas:

1) Como ya se ha dicho, hay que preguntar qué conjuntos están abiertos y cuáles cerrados. La definición de la topología cofinita indica qué conjuntos son abiertos. La definición de topología cofinita también indica qué conjuntos son abiertos. (Pista: ¿Cuál es la definición de conjunto cerrado en términos de conjunto abierto?)

2) Una vez que tengas los conjuntos cerrados, puedes preguntarte si es posible que incluyan Z. Los comentarios anteriores ya te dan la información que necesitas para la respuesta a esta pregunta.

3) Por sus comentarios, parece que piensa que un juego debe estar abierto o cerrado. ¿Es eso cierto? ¿Puede un conjunto ser ni ¿abierto o cerrado? (Pista: Sumando 0 al intervalo abierto (0,1) se obtiene el intervalo [0,1). ¿Este conjunto es abierto? ¿Cerrado? ¿Algo más?)

Answer 2

Ni $\Bbb Z$ ni su complemento $\Bbb R\setminus \Bbb Z$ es cofinito en $\Bbb R.$ Así que en la topología cofinita, ni $\Bbb Z$ ni su complemento está abierto, por lo que $\Bbb Z$ no está ni abierto ni cerrado.

Answer 3

Es cerrado en topología usual. Puesto que, en la topología usual el conjunto es cerrado ya que el conjunto de puntos límite es vacío. Y en el otro caso sus conjuntos abiertos son complementos de conjunto finito por lo tanto , el conjunto de puntos límite resulta ser el conjunto de número reales (Es denso en la segunda topología).

O

Mira el complemento de $\mathbb{Z} $ claramente no es abierto, ya que los únicos conjuntos abiertos son complementos de algún subconjunto finito de $\mathbb{R}$ .