Un estándar Sudoku es un $9\times 9$ cuadrícula llena de dígitos de forma que cada fila, columna y $3\times 3$ contiene todos los números enteros de $1$ a $9$ .
Estoy pensando en una generalización del Sudoku que llamo "Sudoku continuo", que consiste en un cuadrado unitario en el que cada punto de ese cuadrado corresponde a un número real. Las reglas del Sudoku continuo están diseñadas para ser análogas a las del Sudoku estándar, y he ideado dos conjuntos de reglas diferentes:
- El primer conjunto de reglas lo llamo Sudoku continuo "débil". En el Sudoku continuo débil, la única restricción es que cada fila y columna del cuadrado contenga cada número real del intervalo $[0,1]$ exactamente una vez.
- Al segundo conjunto de reglas lo llamo Sudoku continuo "fuerte". En el Sudoku continuo fuerte se aplican las reglas del Sudoku continuo débil y, además, cada subregión cuadrada del cuadrado unitario contiene cada número real del intervalo $[0,1]$ al menos una vez. Esto es análogo al $3\times 3$ restricción de casillas en el Sudoku estándar.
Sea $U = [0,1]$ y $U^2 = U\times U$ . Más concretamente, un Sudoku continuo débil es esencialmente una función $f:U^2\to U$ que cumple las cuatro propiedades siguientes:
- Si $x,y_1,y_2\in U$ y $y_1\neq y_2$ entonces $f(x,y_1)\neq f(x,y_2)$ .
- Si $x_1,x_2,y\in U$ y $x_1\neq x_2$ entonces $f(x_1,y)\neq f(x_2,y)$ .
- Si $x\in U$ entonces $\{z: f(x,y)=z,y\in U\} = U$ .
- Si $y\in U$ entonces $\{z: f(x,y)=z,x\in U\} = U$ .
Ahora bien, el Sudoku continuo fuerte es un poco más difícil de definir con precisión. Un conjunto $S$ es un subregión cuadrada de $U^2$ si $S\subseteq U^2$ y existe $z = (z_1,z_2)\in U^2$ y $r>0$ tal que $S = \{(x,y)\in U^2:z_1\leq x\leq z_1+r,z_2\leq y\leq z_2+r\}$ . Por lo tanto, utilizando esta definición, un Sudoku continuo fuerte es un Sudoku continuo débil que satisface la siguiente propiedad adicional:
- Si $S$ es una subregión cuadrada de $U^2$ entonces $f(S) = U$ .
He intentado buscar ejemplos concretos de cuadrículas de Sudoku continuas, tanto fuertes como débiles, pero hasta ahora no he tenido éxito.
No estoy seguro de si existe algún Sudoku continuo débil. Mi primer intento: $$ f(x,y)=\begin{cases} x+y &\text{if }x+y\leq 1 \\ x+y-1 & \text{if }x+y>1\end{cases} $$ casi funciona. Satisface las propiedades $3$ y $4$ y casi, pero no del todo, satisface $1$ y $2$ . El problema sólo se produce en los límites del cuadrado, por ejemplo, $f(0.5,0) = 0.5$ y $f(0.5,1)=0.5$ .
Cualquier ejemplo de un Sudoku continuo fuerte probablemente tendrá que ser una función patológica extremadamente discontinua, similar al Conway base 13 función . Obviamente, si no hay cuadrículas de Sudoku continuas débiles, entonces no hay cuadrículas de Sudoku continuas fuertes. Incluso si no hay cuadrículas de Sudoku débiles, puede ser posible modificar ligeramente las definiciones para permitir pequeñas excepciones como en el ejemplo anterior.
La pregunta principal que me hago es: ¿Existen cuadrículas de Sudoku continuas débiles, y si existen, existen cuadrículas de Sudoku continuas fuertes?
