¿Existe una función continua {permutación,duplicación,traslación,estiramiento}-invariante sobre conjuntos ordenados de vectores que devuelva un vector?

Question

¿Existe algún ejemplo de una función de este tipo $f$ preferiblemente uno definido en todos $V^n$ y todos los enteros positivos $n$ donde $V$ ¿es algún espacio vectorial? Debe satisfacer lo siguiente:

1. $f(T) = f(\sigma(T))$ para cualquier $T \in V^n$ y permutación $\sigma$
2. $f((X,t,t)) = f((X,t))$ para cualquier secuencia (posiblemente vacía) $X$ y $t \in V$
3. $f(a+T) = a+f(T)$ para cualquier $T \in V^n$ y $a \in V$ donde $a+(t,...,u) = (a+t,...,a+u)$
4. $f(B*T) = B*f(T)$ para cualquier $T \in V^n$ y matriz diagonal $B$ donde $B*(t,...,u) = (B*t,...,B*u)$
5. $f$ es continua en $V^n$ para cada número entero positivo $n$

Si no existe una forma cerrada, bastará con un algoritmo para aproximarla.

La razón por la que busco una función de este tipo es que quiero encontrar una forma de determinar el vector original más probable dado un conjunto de muestras en el que algunas muestras podrían depender de otras. En otro campo se llama crítica textual, pero los criterios utilizados allí son extremadamente subjetivos, mientras que creo que este modelo utiliza criterios objetivos y los resultados son reproducibles, si es que esta función existe en primer lugar. La invariancia de permutación y la invariancia de duplicación son necesarias para excluir copias idénticas (como las de los mitos de Internet). La invariancia de traslación y estiramiento también parecen ser requisitos lógicos. Si $f$ no existe, ¿se puede demostrar? Muchas gracias.

Answer 1

Tu razón para querer encontrar una función de este tipo, junto con el comentario de Rahul que dice "Descartar duplicados y tomar la media" me hizo pensar en otras funciones de este tipo con un trasfondo estadístico. Obviamente, la función "Descartar duplicados y tomar la media" cumple su función. ¿Pero existen otras? Pensé en "Descartar duplicados y tomar la varianza del vector $(v_1, \dots, v_n) \in V^n$ visto como una muestra". Eso también funciona.

Observe también que el conjunto de todas las funciones que satisfacen sus propiedades es un espacio convexo, porque acabamos de demostrar que no es vacío, y dadas dos funciones $f$ , $g$ que lo satisfacen, se puede ver que $\alpha f + (1-\alpha) g$ también está en su espacio de funciones, para cada $\alpha \in [0,1]$ (aquí estoy asumiendo que $\alpha \times f(T)$ tiene sentido, por lo que la imagen de esta función tendría que ser algún subconjunto de los números complejos) o incluso mejor, para cada $\alpha \in \mathbb R$ (es decir, sería un espacio afín). Se me ocurrió advertirlo.

Espero que le sirva de ayuda,