Múltiplos de Nähler con tensor de Ricci distinto de cero pero curvatura escalar decreciente

Question

Múltiple de Lähler con curvatura escalar evanescente pero tensor de Ricci distinto de cero. Me pregunto qué puede decirnos sobre el colector. El ejemplo (procedente de la física) tiene la siguiente forma de Kähler

$$K = \bar{X} X + \bar{Y} Y + \log(\bar{X} X + \bar{Y} Y)$$

e

I

U .

P p .ähler tal que desaparezca. Hay varias constantes de integración en la respuesta final, jugando con ellas podemos obtener diferentes variedades incluyendo la que comentaba más arriba. Para ese caso la métrica de Kähler es la métrica de una expansión estándar en el origen

$$K = \bar{X}X+\bar{Y}Y+a\log(\bar{X}X+\bar{Y}Y)$$

w $a>0$ .

N $\mathbb{C}^n$ 'ähler potencial

$$K = \sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{i=1}^{\tilde N}|X^i Y^j|^2 + a \log \sum\limits_{i=1}^N|X^i|^2.$$

Answer 1

Parte de la respuesta para 4 variedades (2d variedades complejas) se da en el artículo de C Lebrun ``Contraejemplos a la conjetura de la acción positiva generalizada''. p . El autor considera la curvatura escalar evanescente y deduce la forma más genérica del potencial de Kahler tal que desaparece. Hay varias constantes de integración en la respuesta final, jugando con ellas podemos obtener diferentes variedades incluyendo la que comentaba más arriba. Para ese caso la métrica de Kahler es la métrica de una expansión estándar en el origen.

$K = \bar{X}X+\bar{Y}Y+a\log(\bar{X}X+\bar{Y}Y)$

w $a>0$ . Ahora se puede plantear la misma pregunta sobre las variedades de dimensión superior si todas ellas con curvatura escalar evanescente (pero tensor de Ricci no evanescente) se describen mediante las expansiones de $\mathbb{C}^n$ 's.

Answer 2

Estimado Peter, no creo que se pueda decir nada sobre tales variedades porque la curvatura escalar es un invariante demasiado débil para ser útil. Aquí tienes una familia infinita de ejemplos compactos no difeomórficos para apoyar mi afirmación; para los no compactos, elimina una subvariedad.

Sea $Y$ sea una variedad proyectiva de dimensión $n$ con haz canónico amplio. Por el teorema de Calabi-Yau, $Y$ admite una métrica de Kahler-Einstein $\omega_Y$ con $Ric \omega_Y = - \omega_Y$ . Recordemos que el espacio proyectivo $\mathbb P^n$ admite la métrica Fubini-Study $\omega_{FS}$ que tiene $Ric \omega_{FS} = \omega_{FS}$ . Fijamos $X = \mathbb P^n \times Y$ y equipar este espacio con la métrica del producto $\omega = \omega_{FS} \oplus \omega_Y$ . (Aquí y en todas partes deberíamos escribir $pr_1^\ast\omega_{FS} \oplus pr_2^*\omega_Y$ para los mapas de proyección adecuados). Al variar $Y$ entre las manifold proyectivas con haz amplio (que son legión) obtenemos no difeomorfos $X$ .

Reclamación. El espacio $X$ tiene curvatura de Ricci distinta de cero, pero curvatura escalar nula.

Prueba. La dimensión de $X$ es $2n$ . Tenemos $\omega^{2n} = \binom{2n}{n} \omega_{FS}^n \wedge \omega_Y^n$ . Un cálculo en coordenadas locales da entonces que $$Ric \omega = Ric \omega_{FS} + Ric \omega_Y = \omega_{FS} - \omega_Y \not= 0.$$ La curvatura escalar $s$ de $\omega$ satisface $$ 2n s dV = Ric \omega \wedge \omega^{2n-1} / (2n-1)!, $$ donde $dV = \omega^{2n}/(2n)!$ es la forma volumétrica de $\omega$ . Desde $$ \omega^{2n-1} = \binom{2n-1}{n} \bigl( \omega_{FS}^{n-1}\wedge \omega_Y^n + \omega_{FS}^n \wedge \omega_Y^{n-1} \bigr)$$ obtenemos $$ 2n s dV = \frac{1}{(2n-1)!}\binom{2n-1}{n}\bigl( (2n)! dV - (2n)! dV\bigr) = 0, $$ de donde $s = 0$ .