Hallar el valor esperado de la variable aleatoria simétrica

Question

Tengo el siguiente modelo de pregunta de examen:

Para una variable aleatoria simétrica X sabemos: $E[(X-1)^2] =10$ a $E[(X-2)^2] = 6$ . Halla el valor esperado y la varianza.

¿Es correcto el siguiente método? $$\begin{align} E[(X-1)^2] = 10 &\iff E[X^2]-E[2X]+1=10 \\ &\iff E[X^2] = 9 + E[2X] \end{align} $$ $$\begin{align} E[(X-2)^2] = 6 &\iff E[X^2]-E[4X]+4=6 \\ &\iff E[X^2] = 2 + E[4X] \end{align} $$ $$\begin{align} 9 + E[2X] = 2 + E[4X] &\iff 7 = 4E[X] - 2E[X] \\ &\iff \textbf{E[X] = 3.5} \end{align} $$

Lo que resulta en que la varianza es: $Var[X] = 3.75$ .

No tengo una solución para esto, por eso quiero comprobarlo. Simplemente parece demasiado simple (y la propiedad de simetría no se utiliza, hay segunda subcuestión sin embargo).

Answer 1

Pista: $$\color{red} {Var[X] =Var[X-k]} ,if \space \color{red} {k=constant}$$ así que puedes encontrar $Var[(X-2)] =or Var[(X-1)] $ $$Var[X] = \mathbb{E}[(x-\mathbb{E}[x])^2]=\mathbb{E}[x^2]-\mathbb{E}[x]^2\\\to \\Var[X]=Var[X-1]=\mathbb{E}[(x-1)^2]-\mathbb{E}[x-1]^2=\\10-\mathbb{E}[x-1]^2=\\10-(\mathbb{E}[x]-1)^2=\\10-(3.5-1)^2=10-6.25=\\3.75$$ de lo contrario $$Var[X]=Var[X-2]=\mathbb{E}[(x-2)^2]-\mathbb{E}[x-2]^2=\\6-\mathbb{E}[x-2]^2=\\6-(\mathbb{E}[x]-2)^2=\\6-(3.5-2)^2=6-2.25=\\3.75$$