Veracidad de las afirmaciones sobre los valores esperados de variables aleatorias

Question

¿Son estas afirmaciones verdaderas o falsas? ¿Por qué?

• $E(|X|)\le 1 + E(X^2)$

$0|x|<1+x^2$ para todas las opciones de $x$ con $x$ número real. Lo que con $X$ ¿variable aleatoria?

• si $E(X)<0$ y $ \theta \neq0$ tal que $E[e^{\theta X}]=1 $ entonces $\theta>0$

Intento evaluar si la afirmación es verdadera o falsa:

$E[e^{\theta X}]=1$ entonces

$e^{\theta E[ X]}=1 $

$\theta E[ X] = 0$

Desde $ \theta \neq0, E[X] $ debe ser igual a cero y no puede ser menor que 0 como dice el ejercicio.

Edición: He observado que la igualdad $E[e^{\theta x}]=e^{E[X]}$ no se cumple en general, y no tengo ni idea de cómo resolver esta cuestión/encontrar un contraejemplo para demostrar que es falsa.

Answer 1

Porque $\exp$ es convexa en $0$ el gráfico de $x \to e^{\theta x}$ se encuentra por encima de su tangente en $0$ (estrictamente arriba para $\theta\ne 0$ ), cuya fórmula es $x \to 1 + \theta x$ .

La curva azul sólida representa $x\to e^{-x/2}$ que representa el caso $\theta=-1/2$ . La línea roja discontinua es la tangente a la curva azul en $x=0$ . Su ecuación es $1 + \theta x = 1 - x/2$ .

Esto demuestra que

$$e^{\theta x} \ge 1 + \theta x$$

para todos $\theta$ y todos $x$ .

Suponiendo que $\theta$ es una constante para la que $\mathbb{E}(e^{\theta X})=1$ podemos utilizar esta observación para obtener un límite inferior

$$0 = -1 + \mathbb{E}(e^{\theta X}) \ge -1+\mathbb{E}(1 + \theta X) =\theta\,\mathbb{E}(X).$$

Por lo tanto $\theta$ y $\mathbb{E}(X)$ deben tener signos opuestos. En particular, si $\mathbb{E}(X) \lt 0$ entonces $\theta \ge 0$ . Desde $\theta=0$ se ha descartado explícitamente, concluimos $\theta \gt 0$ , QED .

Answer 2

Desde $0\leq|x|<1+x^2$ tenemos que $$E|X|=\int |x|dF(x)<\int(1+x^2)dF(x)=E(1+X^2)$$ donde $F$ representa la función de densidad.

No estoy seguro de cómo entender su segunda pregunta, en particular no veo la declaración "SI..., ENTONCES..." :-) ¿Le importaría modificarla un poco?