Superficies compactas sin puntos conjugados

Question

He formulado esta pregunta ( Superficies sin puntos conjugados ) y he recibido una atenta respuesta del usuario67582. La respuesta me hizo ver que debía preguntar mejor. Así que lo vuelvo a intentar aquí.

Estoy tratando de entender algunos aspectos de las geodésicas de superficies compactas sin puntos conjugados y surgió la siguiente pregunta: considere el 2-toro con curvatura constante negativa, su cobertura universal $\mathbb{R}^{2}$ con la métrica de recubrimiento y dos geodésicas en el recubrimiento que son asintóticas entre sí en el "futuro". Es cierto que la distancia entre estas dos geodésicas aumenta monotónicamente en el "pasado", debido a la curvatura negativa (véase la figura).

Estoy tratando de ver si esto es cierto para los recubrimientos universales de superficies compactas sin puntos conjugados . Para ser más precisos, consideremos dos geodésicas que son asintóticas entre sí en el "futuro" de la cubierta universal de una superficie compacta (2 toros, 3 toros, etc.). ¿Es cierto que la distancia entre ellas no disminuye en el pasado? Estaba pensando lo siguiente: si fuera falso, debería ocurrir algo como lo siguiente:

Quizás sea posible utilizar algún argumento "atajo" para demostrar que esto es imposible (si el resultado que quiero es cierto...) pero no soy capaz de construir "el atajo inteligente", quizás utilizando el hecho de que la geodésica "superior" se aproxima un poco a la geodésica "inferior" antes del máximo local como vemos en la figura. Mi idea se basa en el hecho de que la condición "sin puntos conjugados" implica que en el recubrimiento universal toda geodésica es minimizadora. El hecho de que en la cobertura universal tengamos cierto control de la "periodicidad" de la métrica también podría dar alguna pista.

Muchas gracias por adelantado.

Answer 1

En primer lugar, sólo quiero señalar que la cubierta universal del toro de dos agujeros (y de hecho de la $n$ -donde $n>1$ ) no es $\mathbb{R}^2$ pero el plano medio superior (lo denotaré como $\mathcal{H}$ ) dotada de la métrica de Poincare: $g_{x+iy} = \frac{dxdy}{y^2}$ .

Tu primera imagen es un poco engañosa, ya que las geodésicas del semiplano superior son precisamente líneas verticales y semicírculos con centro en el eje real. Si intentamos dibujar dos geodésicas que asintonicen entre sí, digamos el semicírculo centrado en $0$ y de radio $1$ y la línea vertical en $1$ vemos que aunque parecen asíntotas entre sí a medida que nos acercamos al punto $1$ en realidad la métrica se infla como $y\rightarrow 0$ por lo que la distancia real entre estas dos geodésicas se dirige al infinito. Por lo tanto, no creo que realmente existe un par de geodésicas en $\mathcal{H}$ que asíntota entre sí.