¿Por qué una función delta de Dirac hace que la dimensión de los elementos de una matriz de densidad sea incoherente?

Question

Supongamos que $\left | m \right >=\int \frac {dk}{2\pi} G(k)\left | k \right >$ y $G(k)$ tiene la dimensión de $[L]$ . Por tanto, ambos lados de la ecuación son adimensionales.

Una matriz de densidad se define como $\rho=\sum_{mn} \rho_{mn}\left | m \right >\left < n\right |=\sum_{mn}\int \frac{dk_1dk_2}{(2\pi)^2}G_m(k_1)G^*_n(k_2) \rho_{mn}\left | k_1 \right >\left < k_2\right| $ y la dimensión de $\rho_{mn}$ es cero, lo cual es coherente.

Pero si utilizo seleccionar un elemento aplicando \begin{align}\rho_{mn}=\left < m \right | \rho \left | n \right >&=\int \frac{dk_3dk_4}{(2\pi)^2}G_m(k_3)G^*_n(k_4) \left < k_3\right|\rho \left | k_4 \right >\nonumber \\ &=\int \frac{dk_3dk_4}{(2\pi)^2}G_m(k_3)G^*_n(k_4) \sum_{m'n'}\int \frac{dk_1dk_2}{(2\pi)^2}G_{m'}(k_1)G^*_{n'}(k_2) \rho_{m'n'}\left < k_3\right|\left . k_1 \right >\left < k_2\right| \left . k_4 \right > \nonumber \\ &=\sum_{m'n'}\int \frac{dk_3dk_4}{(2\pi)^2}\int \frac{dk_1dk_2}{(2\pi)^2}G_m(k_3)G^*_n(k_4) G_{m'}(k_1)G^*_{n'}(k_2) \rho_{m'n'}(2\pi)^2\delta(k_3-k_1)\delta(k_4-k_2) \nonumber \\ &=\sum_{m'n'}\int \frac{dk_1dk_2}{(2\pi)^2}G_m(k_1)G^*_n(k_2) G_{m'}(k_1)G^*_{n'}(k_2) \rho_{m'n'} \nonumber \end{align}

Ahora el lado derecho de la ecuación tiene la dimensión de $[L^2]$ que es inconsistente con la lhs.

¿En qué me he equivocado? Creo que el problema está en la función delta de Dirac, pero todavía no he encontrado ninguna información útil al respecto.

Sé que la función delta de Dirac tiene la dimensión inversa de sus parámetros, pero no veía cómo encajaba aquí.

Answer 1

Supongo que considera estados $|k>$ en el espectro continuo, de lo contrario no se utilizaría la integración sobre $k$ sino una suma. Si es así, la normalización de su $|k>$ probablemente se vea así $<k_i|k_j>=\delta(k_i-k_j)$ lo que significa $|k>$ no es exactamente adimensional por las razones que has mencionado (la delta de Dirac es $[k]^{-1}$ ).

En realidad, no es necesario calcular la matriz de densidad para darse cuenta de ello; basta con probar $<m|n>$ y te encontrarás con el mismo problema. Una forma de evitarlo sería decir que la dimensión de $|k>$ ser $L^{1/2}$ (suponiendo $k$ es una especie de vector de onda) y por lo tanto considerar en su lugar $|m^{\prime}>=L^{-1/2}|m>$ en el espíritu de los modos propios en una caja de tamaño $L$ .