Cómo justificar rigurosamente "recoger la mitad de un residuo"?

Question

A menudo en las integrales de contorno, se integran en torno a una singularidad por poner una pequeña semicircular de sangría $\theta \rightarrow z_0 + re^{i\theta}$, $0 \leq \theta \leq \pi$ alrededor de la singularidad en $z_0$.

A continuación, afirma que la integral "toma la mitad de un residuo" como $r \rightarrow 0$, por lo que podemos calcular el residuo de dividir por dos, y multiplicar por $2\pi i$ para obtener el valor límite de la integral sobre el pequeño semicírculo.

No veo cómo justificar este rigor. He intentado adaptar la prueba del teorema de los residuos, lo que implica la expansión de series de Taylor, pero esto fundamentalmente se basa en el hecho de que el camino está cerrado.

También he intentado usar a ver si los valores de la función en el semicírculo todos tienden al mismo valor que el semicírculo se reduce a cero. Pero no estoy seguro de si esto es cierto, ya que realmente no tienen buen comportamiento de la función en $z_0$.

Así que mi pregunta es esta. Bajo qué circunstancias podemos aducir que la integral sobre un pequeño semicírculo centrada en un poste $z_0$ $\pi i$ veces el residuo en $z_0$, y ¿cómo podemos demostrar esto?

Answer 1

Esto funciona cuando la función tiene un simple poste de $z_0$. No funciona para los de orden superior de los postes o singularidades esenciales. De hecho, se puede decir algo más fuerte: si una función tiene un simple poste en un punto, entonces el valor de limitación de su integral en un ángulo-$\theta$ arco alrededor de ese punto siempre es $i\theta$.

Usted puede ver esta haciendo notar que:

• Funciona cuando el integrando es $\frac{1}{z-z_0}$, y por lo tanto, siempre es $\frac{a}{z-z_0}$.
• Si $f$ es holomorphic en $z_0$, añadiendo $f$ a tu integrando no va a cambiar si o no funciona (porque $f$ es localmente acotada, y su arco circular es pequeño).
• No funciona para $\frac{1}{(z-z_0)^n}$ donde $n>1$.

La combinación de los dos primeros puntos de bala significa que funciona cada vez que el integrando tiene una simple polo. El último punto significa que usted no tiene ninguna razón para esperar que funcione de otra manera (aunque es posible que de vez en cuando puede tener suerte).

Si usted está buscando detallada de las pruebas de todos estos hechos, en algunos complejos de análisis de libros de texto, creo que la frase clave para buscar en el índice o tabla de contenido es "una sangría de los contornos."