Dada una matriz $A$ . Supongamos que $A$ tiene $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ valores propios cada uno con $g_i$ multiplicidad geométrica y $r_1,\dots,r_n$ multiplicidad algebraica, $g_i\leq r_i$ .
Sólo con esta información, ¿puedo entender el aspecto que podría tener la matriz?
Y más en general, ¿cómo afecta a la matriz la forma algebraica y las multiplicaciones geométricas?
Respuestas
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Dietrich Burde
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Todas las matrices cuadradas $A$ satisfacen que la multiplicidad algebraica es mayor o igual que la multiplicidad geométrica. Por tanto, $g_i\le r_i$ no aporta ninguna información nueva sobre el aspecto de las matrices. Si una matriz de tamaño $n$ tiene la suma de multiplicidades geométricas igual a $n$ entonces es diagonalizable. Entonces también la suma de las multiplicidades algebraicas es igual a $n$ .
Daniel Mahler
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La diferencia entre algebraico y geométrico viene dada por el número de vectores propios linealmente independientes. La multiplicidad geométrica es estrictamente menor que la algebraica si y sólo si el número de vectores propios linealmente independientes es menor que $n$ y algunos vectores propios tienen que repetirse en una eigendecomposición de $A$ . Los vectores propios no abarcan el espacio y no constituyen una base. Esto significa que $A$ no se puede diagonalizar.
Las multiplicidades de los valores propios son independientes de la base, por lo que no dicen mucho sobre la aparición de $A$ ya que cualquier transformación los dejará inalterados. Sin embargo, restringen la forma normal de Jordan, pero la especificación completa de la forma normal de Jordan requiere las multiplicidades reales de los vectores propios. Para cada eigenvector distinto en una eigendecomposición dada hay un bloque con el tamaño de esa multiplicidad de eigenvectores rellenado con el eigenvalor correspondiente.
