Sea $n$ sea un número entero y $p_1,\ldots,p_{n^2}$ sean los primeros números primos. Escribirlos en una matriz $$ \left(\begin{matrix} p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ p_{n+1} & p_{n+2} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & p_{n^2} \end{matrix} \right) $$ podemos tomar el determinante. Cómo demostrar que el determinante no es cero para cada $n$ ?
Respuesta
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Antonio De Angelis
Puntos
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Para $n=1$ , $ det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}=14-15=-1 $
Para $n=2$ , $ det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\ 7 & 11 & 13 \\ 17 & 19 & 23 \end{pmatrix}=-78 $
Para $n=3, det(M_3)=-160$
Para $n=k+1$ :
$$ \left(\begin{matrix} p_1 & p_2 & \cdots & p_{k+1} \\ p_{k+2} & p_{k+3} & \cdots & p_{2{k+2}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & p_{{k^2+2k+1}} \end{matrix} \right) $$
Tenemos: $$ n=1 \Rightarrow det(M_1)=-1 \\ n=2 \Rightarrow det(M_2)=-78 \\ n=3 \Rightarrow det(M_3)=-160 \\ n=4 \Rightarrow det(M_4)=880 \\ n=5 \Rightarrow det(M_5)=4984 \\ n=6 \Rightarrow det(M_6)=-14304 \\ n=7 \Rightarrow det(M_7)=-423936 \\ n=8 \Rightarrow det(M_8)=8342720 \\ n=9 \Rightarrow det(M_9)=3392474624 \\ n=10 \Rightarrow det(M_{10})=-1891904 \\ \vdots \\ n=57 \Rightarrow det(M_{57})=2.14 \times 10^{89} \\ n=58 \Rightarrow det(M_{58})=1.25 \times 10^{89} \\ \vdots \\ n=951 \Rightarrow det(M_{951}) \neq 0 \\ \vdots \\ n=k+952 \Rightarrow det(M_{k+952}) \stackrel{?}{\neq} 0 \\ $$
Con Excel obtenemos: 
Esto puede significar que el determinante no es cero para cada $n$ con el crecimiento de la $y$ coordinar el ser $O(-ne^{mx}): n, m \in \mathbb{R}$ . (Tratando de probarlo)
Editar después de n=10: Parece haber un patrón en los números determinantes donde hay 3 negativos, 2 positivos, 2 negativos, 2 positivos, ...
Esto puede significar que la inducción no será un método válido, sino una contraprueba en la que encontramos un ejemplo tal que $det(M_n)=0$ .
Créditos para $n=1$ : Gerald , $n=57,58$ : Jukka Kohonen , $n=951$ : Boris Valderrama
