¿Si el valor absoluto de una función es continua, la función es continua?

Question

Si $|f(x)|$ es continua en $a$, ¿es $f(x)$ continua en $a?

Intenté hacerlo usando funciones compuestas. Si $g(x)= |x|$, entonces $g\circ f(x)= |f(x)|$. Dado que $g(x)$ y $g\circ f(x)$ son continuas, $f(x)$ es continua.

No sé si esto es correcto. Por favor ayuda.

Answer 1

Sea $f(x)=-1$ si $x$ es racional, y sea $f(x)=1$ si $x$ es irracional.

O más modestamente, sea $f(x)=-1$ si $x\lt 17$, y $f(x)=1$ para $x\ge 17$.

Answer 2

Esto no siempre es cierto. Si $f(x)$ es una función por partes tal que

$f(x)=1$ para $x

$f(x)=-1$ para $x>a$

Entonces $|f(x)|$ es continua en $a$, pero $f(x)$ no lo es.

Answer 3

Tal vez estás entendiendo mal la lógica detrás de esto:

Sea $g(x)$ continua, bien.

Ahora, decir

$g \circ f(x)$ es continua si $f(x)$ es continua

no implica que

$g \circ f(x)$ no es continua si $f(x)$ no es continua

Tampoco es cierto decir que $g \circ f(x)$ es continua porque $f(x)$ es continua.

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La única (y obvia) conclusión que podemos sacar es que si $f(x)$ es continua, entonces $g \circ f(x)$ ciertamente también es continua. Pero si $f(x)$ es discontinua, entonces $g \circ f(x)$ puede serlo o no.

Así que no puedes deducir nada sobre $f(x)$ del comportamiento de $g \circ f(x).

Answer 4

En lenguaje de programación, ya que no sé cómo expresarlo en lenguaje matemático:

f(x) = odd(x) ? x : -x;

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Ed.: eso sería

$$ f(x) = \begin{cases} x \quad \text{si $x$ es impar} \\ -x \quad \text{en caso contrario} \end{cases} $$