Demostrando que $\gcd\left(\frac a {\gcd(a,b)},\frac b {\gcd(a,b)}\right) =1$

Question

Necesito demostrar que el $$\gcd\left(\frac a {\gcd(a,b)},\frac b {\gcd(a,b)}\right) =1$$

No estoy seguro exactamente cómo enfocar esto .. He intentado utilizar el hecho de que $\gcd(a,b)=d$ así que $d=ma+nb$ pero no llegué muy lejos

¿Podría alguien sugerirme por dónde empezar?

Answer 1

Esto es mucho más sencillo de lo que parece. Dejemos que $d=\gcd(a,b)$ por definición, este es el mayor factor que $a,b$ tienen en común. Por lo tanto, podemos escribir $a=a'd$ y $b=b'd$ donde $$\gcd(a',b')=1$$ Pero nótese que esta expresión es precisamente $$\gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right )=\gcd\left(\frac{a}{\gcd(a,b)},\frac{b}{\gcd(a,b)}\right )=1$$