Demostrando que $\gcd\left(\frac a {\gcd(a,b)},\frac b {\gcd(a,b)}\right) =1$

Question

Necesito demostrar que el $$\gcd\left(\frac a {\gcd(a,b)},\frac b {\gcd(a,b)}\right) =1$$

No estoy seguro exactamente cómo enfocar esto .. He intentado utilizar el hecho de que $\gcd(a,b)=d$ así que $d=ma+nb$ pero no llegué muy lejos

¿Podría alguien sugerirme por dónde empezar?

Answer 1

Escriba a $g = \gcd(a,b).$ A continuación, escriba $\alpha = \frac{a}{g},$ y $\beta = \frac{b}{g}.$ Hasta ahora hemos $a = g \alpha, \; b = g \beta.$ Ahora, supongamos que el $\gcd(\alpha, \beta) > 1,$ para que algunos $t \mid \alpha$ y $t \mid \beta$ con $t > 1.$ Entonces $gt$ es divisor de $a,b$ mayor que $g,$ lo que contradice la definición de $g.$

Answer 2

Hay una prueba muy sencilla, Sea $$\gcd(a,b) = d = am+bn$$ Ahora multipliquemos ambos lados por ${1}/{d}$ $$\frac{1}{d}\cdot d = \frac{1}{d} (am+bn)$$ $$1= \frac{a}{d}\cdot m+\frac{b}{d}\cdot n$$ Y esto es sólo la definición de la combinación lineal, Así que $$\gcd\left(\frac{a}{b},\frac{b}{d}\right)=1$$

Answer 3

Sea $d=gcd(\frac{a}{gcd(a,b)},\frac{b}{gcd(a,b)})$ . Entonces $d$ es un divisor común, lo que implica que $d|\frac{a}{gcd(a,b)}$ y $d|\frac{b}{gcd(a,b)}$ Esto nos dice que $d\cdot gcd(a,b)|a$ y $d\cdot gcd(a,b)|b$ lo que implica que $d\cdot gcd(a,b)$ es un divisor común de $a$ y $b$ . Por lo tanto, por definición de divisor común, $d\cdot gcd(a,b)|gcd(a,b)$ . Por eso y porque $gcd(a,b)|d\cdot gcd(a,b)$ .se deduce que $d\cdot gcd(a,b)$ y $gcd(a,b)$ son asociados. Por lo tanto $d$ es una unidad, $d=1$ .

Answer 4

Imagínese cualquier $d>1$ dividiendo ambos $\frac a{\gcd(a,b)}$ y $\frac b{\gcd(a,b)}$ . Entonces el producto $d\gcd(a,b)$ divide ambos $a$ y $b$ . Pero según el significado de "mayor" no puede, porque $d\gcd(a,b)>\gcd(a,b)$ .

Answer 5

Es simplemente el caso especial $\: c = (a,b)\:$ de la $\,$ ley distributiva gcd $\ (a/c,b/c) = (a,b)/c$

Ver aquí para algunas pruebas de distributividad (por linealidad (Bezout); universalidad; factorización de primos).