Convergencia de la secuencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre como álgebra

Question

Consideremos una secuencia exacta corta (no necesariamente dividida) de grupos

$1 \rightarrow N \rightarrow G \rightarrow Q \rightarrow 1$

y supongamos que deseamos encontrar la cohomología de $G$ con coeficientes en un anillo $R$ . Entonces, se sabe que existe una secuencia espectral cohomológica de primer cuadrante de álgebras convergente como álgebra :

$E_2^{p,q} = H^p(Q;H^q(N;R)) \implies H^{p+q}(G;R)$ .

Supongamos que $R$ se sustituye por un $Q$ -módulo $M$ . (Un ejemplo concreto que me interesa es cuando $Q = \mathbb Z_2$ y $M = \mathbb Z$ con la acción inversora de $Q$ .) Entonces, ¿todavía podemos definir una secuencia espectral de álgebras con un $E_2$ -como se ha indicado anteriormente, de modo que converja a $H^{p+q}(G,M)$ como álgebra?

(Con saber la respuesta para el ejemplo concreto que he mencionado es suficiente).

Answer 1

Como Joshua Grochow mencionó en un comentario, no existe necesariamente una estructura algebraica en esta secuencia espectral. (En particular, $H^0(G;M) = M^G$ no tiene necesariamente una estructura de anillo). Generalmente, un emparejamiento equivariante $M \otimes N \to P$ da lugar a un mapa de multiplicación sobre secuencias espectrales.

En su caso de $\Bbb Z$ con la acción del signo, he aquí un truco práctico que sí elabora la estructura. Sea $R$ sea el anillo $\Bbb Z[x]/(x^2 -1)$ donde $G$ actúa sobre $x$ mediante el cociente $Q$ enviándolo a $-x$ . Entonces $R$ es un $G$ -equivariante, pero como anillo módulo se descompone como $\Bbb Z \cdot 1 \oplus \Bbb Z^{sgn} \cdot x$ . Como resultado, la secuencia espectral se descompone naturalmente de forma aditiva como una suma directa: $$ H^p(Q; H^q(N;R)) \cong H^p(Q;H^q(N;\Bbb Z)) \oplus H^p(Q;H^q(N;\Bbb Z^{sgn})) $$ La multiplicación en $R$ sin embargo, da a esta secuencia espectral una multiplicación. Esto convierte a la sucesión espectral de signos en un módulo sobre la sucesión espectral de acción trivial y nos da un emparejamiento bilineal $$ H^p(Q;H^q(N;\Bbb Z^{sgn})) \otimes H^{p'}(Q;H^{q'}(N;\Bbb Z^{sgn})) \to H^{p+p'}(Q;H^{q+q'}(N;\Bbb Z)) $$ que sea compatible con los diferenciales de la secuencia espectral. Estas convergen a una estructura modular natural $$ H^n(G;\Bbb Z) \otimes H^{n'}(G;\Bbb Z^{sgn}) \to H^{n+n'}(G;\Bbb Z^{sgn}) $$ y un emparejamiento $$ H^n(G;\Bbb Z^{sgn}) \otimes H^{n'}(G;\Bbb Z^{sgn}) \to H^{n+n'}(G;\Bbb Z). $$ (Este truco de hacer un anillo a partir de módulos puede utilizarse para determinar una estructura adicional en otros muchos casos).