¿Cómo evaluar esta suma infinita utilizando la serie de Fourier?

Question

¿Hay alguna manera de resolver el seris $S=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a^2+(2n+1)^2}$ donde $a\neq 0$ ?
I $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a^2+n^2}$ y $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a^2+(2n)^2}.$

Necesito pistas o sugerencias si hay otros métodos.

Answer 1

Si puede demostrar que $$ \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{a^2+n^2} = \frac{1}{2a^2}+\frac{\pi}{2a\sinh(\pi a)} \tag{1}$$ $$ \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{a^2+(2n)^2} = \frac{1}{2a^2}+\frac{\pi}{4a\sinh(\pi a/2)} \tag{2}$$ por ejemplo mediante la serie sinusoidal de Fourier de $\sinh$ en $(-\pi,\pi)$ entonces considerando la diferencia entre $(1)$ y $(2)$ : $$ \sum_{n\geq 0}\frac{\color{red}{1}}{a^2+(2n+1)^2} = \frac{\pi\tanh(\pi a/2)}{4a} \tag{3}$$ pero si el último $\color{red}{1}$ se sustituye por $(-1)^n$ el resultado no es tan elemental. Tenemos $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{\psi(a)-\psi(b)}{a-b},\qquad \psi(s)-\psi(1-s)=-\pi\cot(\pi s)\tag{4} $$ donde $\psi(s)=\frac{d}{ds}\log\Gamma(s)$ Por lo tanto $$ \sum_{n\geq 0}\frac{\color{red}{(-1)^n}}{a^2+(2n+1)^2}=\frac{1}{4a}\,\text{Im}\left[\psi\left(\tfrac{1+ia}{4}\right)-\psi\left(\tfrac{3+ia}{4}\right)\right]\tag{5}$$ que esencialmente tiene una bonita forma cerrada (constante de Catalan $G$ ) sólo para $a\to 0^+$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que el función digamma puede escribirse como $$ \psi(x)=-\gamma+\sum_{k=0}^\infty\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+x}\right)\tag1 $$ donde $\gamma$ es el Constante de Euler-Mascheroni . Así, $$ \begin{align} \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{a^2+(2n+1)^2} &=\frac1{2ia}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left(\frac1{2n+1-ia}-\frac1{2n+1+ia}\right)\tag2\\ &=\frac1{4ia}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left(\frac1{n+\frac{1-ia}2}-\frac1{n+\frac{1+ia}2}\right)\tag3\\ &=\frac1{4ia}\sum_{n=0}^\infty\left(\color{#C00}{\frac1{n+\frac{1-ia}4}-\frac1{n+\frac{1+ia}4}}\color{#090}{-\frac1{n+\frac{1-ia}2}+\frac1{n+\frac{1+ia}2}}\right)\tag4\\[6pt] &=\frac1{4ia}\left(\psi\left(\frac{1+ia}4\right)-\psi\left(\frac{1-ia}4\right)+\psi\left(\frac{1-ia}2\right)-\psi\left(\frac{1+ia}2\right)\right)\tag5 \end{align} $$ Explicación:
$(2)$ fracciones parciales
$(3)$ : poner $(2)$ en forma de $(1)$
$(4)$ una suma alterna es $\color{#C00}{\text{twice the even terms}}$ $\color{#090}{\text{minus all the terms}}$
$(5)$ : aplicar $(1)$