Inuición sobre Lowenheim-Skolem aplicada a modelos de teoría de conjuntos

Question

Según wikipedia ,

...el Teorema de Löwenheim-Skolem establece que para cada firma $$, every infinite $$ -estructura $M$ y todo número cardinal infinito $ ||$ hay un $$-structure $ N $ such that $ |N| = $ y

• si $ < |M|$ entonces $N$ es una subestructura elemental de $M$ ;
• si $ > |M|$ entonces $N$ es una extensión elemental de $M$ .

Ahora dejemos que $\kappa$ ser inaccesible. Entonces $V_\kappa$ de acuerdo con el universo ambiente sobre $\aleph_1,$ además $V_\kappa$ sabe que $\aleph_1$ es incontable. Así que por Lowenheim-Skolem, podemos encontrar una subestructura elemental contable $M$ de $V_\kappa$ . Desde $V_\kappa$ está bien fundada, también lo está $M$ . Por lo tanto, podemos colapsar $M$ para obtener un modelo transitivo (isomorfo) $T$ . Pero como $T$ es contable, por lo que $\aleph_1^T$ no es igual a $\aleph_1.$ Por lo tanto, ciertamente, no es el caso que la inclusión $T \hookrightarrow V_\kappa$ es una incrustación elemental. Sin embargo, existe una incrustación elemental $T \hookrightarrow V$ .

Esto parece un poco raro. ¿Alguien puede explicar lo que está pasando aquí?

Answer 1

Esto se conoce como la paradoja de Skolem (a menudo utilizada con $\Bbb R$ en lugar de $\aleph_1$ pero el principio es el mismo).

Si estás dispuesto a aceptar un cardenal inaccesible, entonces estás dispuesto a aceptar cosas mucho más raras que "podemos encontrar ". otros incrustaciones que no son inclusión".

$M$ y $T$ son isomorfas, pero no son iguales. Por cierto, si se sustituye cada elemento $x\in V_\kappa$ por $x\cup\{V_\kappa\}$ entonces todavía tiene una forma natural de identificar el conjunto resultante con $V_\kappa$ por lo que es un modelo de $\sf ZFC$ pero de repente... el conjunto vacío no está vacío.

¿Por qué mi ejemplo es absurdo y la paradoja de Skolem no? Porque el mío es una hipérbole, claro. Pero la idea es la misma. Normalmente hay más de una forma de hacer las cosas, especialmente cuando son infinitas.

Si quieres seguir insistiendo en que algo aquí está mal, entonces tienes que rechazar por completo la lógica de primer orden. Pero entonces te encuentras con otros problemas.