Demostrar $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$ si $a^2+b^2+c^2+d^2=1$

Question

Vamos $a,b,c,d\geq0$, $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ Probar $\displaystyle (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$ Yo mutiplied tanto con $\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)$ uso de $1-a^2=b^2+c^2+d^2$ e intente utilizar el cauchy-schwarz y el titular, pero es que no funciona.

Answer 1

$a^2+b^2+c^2+d^2=1$ => $a,b,c,d\in[0,1]$. Si $\displaystyle abcd=0$, por lo que la desigualdad es verdadera. Si $\displaystyle abcd>0$ set : $x=\frac{1}{un}, y=\frac{1-b}{b}, z=\frac{1-c}{c}, w=\frac{1-d}{d}$

Tenemos

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{(1+w)^2}=1$

Y la desigualdad de convertirse en $\displaystyle xyzw\geq1$

Vamos a demostrar que con $x,y,z,w\geq0$$xyzw=1$: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{(1+w)^2}\geq1$ (1)

El uso de Cauchy-Schwarz tenemos

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{(1+w)^2}\geq \frac{1}{(\frac{x}{y}+1)(xy+1)}+\frac{1}{(\frac{y}{x}+1)(xy+1)} +\frac{1}{(\frac{z}{w}+1)(zw+1)}+\frac{1}{(\frac{w}{z}+1)(zw+1)} =\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{zw+1} =\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{\frac{1}{xy}+1} =\frac{1}{xy+1}+\frac{xy}{xy+1}=1$ Supongamos que $xyzw<1$. Set$t=\frac{1}{xyz}$$xyzt=1$$t>w$. El uso de (1), tenemos $1\le\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{(1+t)^2} <\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{(1+w)^2}=1$ Así que la supongamos que es falso =>$xyzw\geq1$

Answer 2

El uso de AM-GM podemos escribir $1-a^2-b^2=c^2+d^2\ge2cd$

Así que la idea de derecho es para probar esto $(1-a)(1-b)\ge cd$

o del mismo modo que lo pruebe $2(1-a)(1-b) -2cd\ge 0$

$$2(1-a)(1-b) -2cd \ge 2(1-a)(1-b) -1 +a^2+b^2 = (1-a-b)^2\ge 0$$

Por lo $(1-a)(1-b)\ge cd$ es cierto.Del mismo modo podemos mostrar a $(1-c)(1-d)\ge ab$. multiplicar para obtener la cuestión de la desigualdad.

Answer 3

Observar que $f(x)=\log\left(\frac1x-1\right)$ es cóncava para $0<x<1$ (su derivada es $\frac1{x(1-x)}$).

Tomando $\log$, la desigualdad es equivalente a $$\sum\log\left(\frac1a-1\right)\geq0.$$ Por la desigualdad de Jensen, $$\sum\log\left(\frac1a-1\right)\geq4\log\left(\frac4{a+b+c+d}-1\right).$$ Por Cauchy-Schwarz/Potencia Media/Hölder, $a+b+c+d\leq2\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=2$, por lo tanto $$LHS\geq4\log\left(\frac42-1\right)=0,$$ como iba a ser mostrado.