¡Hola compañeros entusiastas de las matemáticas! Estoy leyendo en "Introducción a la Topología" de Gameline y Greene y me he atascado en un ejercicio del primer capítulo, y me encantaría recibir ayuda para entender su solución. El problema es el siguiente
"Dado un conjunto $X$ y métrica $d(x, y) = 1$ si $x \neq y$ y $d(x, y) = 0$ si $x = y$ entonces queremos probar que cada subconjunto del espacio métrico resultante $(X, d)$ es tanto abierto como cerrado".
Y la solución es la siguiente:
"Como cada bola $B(x; \frac{1}{2})$ se reduce al conjunto único ${x}$ todo subconjunto es una unión de bolas abiertas, por lo tanto todo subconjunto es abierto".
Mi interpretación de la solución es que sólo están proporcionando la forma de razonar. Sólo mostraron que cada subconjunto es abierto pero no cerrado.
En el libro hay un teorema que afirma que un subconjunto de $X$ es abierta si y sólo si es una unión de bolas abiertas en $X$ y se utiliza en la prueba.
Entiendo que en $X$ cada subconjunto es un conjunto único ${x}$ o una colección de singletons y puesto que cada singleton se puede reescribir en X como una bola abierta $B(x; \frac{1}{2})$ entonces cada colección de singletons puede escribirse como una unión de estas bolas abiertas y, por tanto, cada subconjunto de $X$ está abierto.
Pero, ¿cómo conseguimos que cada subconjunto sea cerrado? Mi idea es que nos fijemos en los complementos de los conjuntos que hemos considerado antes. Dado que cada uno de estos conjuntos complementarios también obedece a la misma estructura (por lo que en la práctica no se distinguirían de los conjuntos anteriores), utilizando el argumento de la bola, también se puede demostrar que son conjuntos abiertos. Luego, utilizando el argumento (teorema del libro) de que si un subconjunto es abierto, su complemento es cerrado. Por lo tanto, tanto los subconjuntos de singletons individuales o colecciones de singletons son abiertos y cerrados.
¿Cómo se formaliza? Cualquier comentario es muy apreciado. Gracias de antemano.
/Isak
