La convergencia en $L^1$ espacio

Question

Supongamos que $f_{n}$ es una secuencia de funciones medibles, en un número finito de medir el espacio, $f_{n}\to f $ $m$- medida y que no existe $g$ $L^1$ tal que $\vert f_n\vert \le g$. Demostrar que $$ \lim_{n\to +\infty}\Vert f_n-f\Vert_{L^1}=0. $$

Lo que, obviamente, pensaba hacer era dividiendo la diferencia de $|f_n-f|$ a la menor que y mayor que $\epsilon$ y el vinculado a la mayor parte por $2g$. Estoy pegado a la derecha, se las puedo mostrar es finito pero no puede mostrar es menor que epsilon.

A continuación, he pensado en usar el R. Fisher argumento de llegar a la larga de $f_n$ que converge a.e, y finitud del espacio de darle una. uniforme por Egoroff). Pero de esa manera no sólo puede mostrar el resultado será bueno para el caso de la larga. No estoy seguro de si me puede concluir, a partir de ahí, aunque( por argumentando que la secuencia original y su larga va para el mismo límite). Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo aquí. Me encantaría salir de esta confusión. Ayuda por favor.

Answer 1

Deje $\epsilon > 0$ ser dado. Mostrar no es $\delta > 0$ tal que $\int_A (|g|+|f|) \ dm < \epsilon/3$ para cualquier conjunto medible $A$$m(A) < \delta$.
También hay un conjunto $C$ tal que $m(C) < \infty$$\int_{C^c} (|g| + |f|)\ dm < \epsilon/3$. Ahora desde $f_n \to f$ en la medida, por lo suficientemente grande $n$ tenemos $|f_n - f| < \epsilon/(3 m(C))$, excepto en un conjunto $B_n$ de medida $< \delta$. Así que para suficientemente grande $n$, $$ \int |f_n - f| \ dm \le \int_{B_n} |f_n - f| \ dm + \int_{C^c} |f_n - f|\ dm + \int_C \frac{\epsilon}{3 m(C)} \ dm \le \dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3} =\epsilon $$