serie laurent de $\frac{z^2-2z+2}{(z-1)(z^2-2z-3)}$ en torno a $z-1$ para $0<|z-1|<2$

Question

Quiero encontrar la serie Laurent de $L=\frac{z^2-2z+2}{(z-1)(z^2-2z+3}$ en torno a $(z-1)$

En este caso, he utilizado el hecho de que $L=\frac{5}{8(z-3)}+\frac{5}{8(z+1)}-\frac{1}{4(z-1)}$

En $|z-1|<2$ tenemos

$L=\frac{-1}{4(z-1)}+\frac{5}{8} \frac{1}{(z-1)-2} +\frac{5}{8( (z-1)+2)}$

$=\frac{-1}{4(z-1)} +\frac{5}{-16}\frac{1}{1- \frac{(z-1)}{2}} + \frac{5}{16} \frac{1}{1+ \frac{(z-1)}{2}} =-\frac{1}{4(z-1)}+ \frac{5}{16} \sum_{k=0}^\infty \frac{(z-1)^k}{2^k}(-1+(-1)^k)=-\frac{1}{4(z-1)}+\frac{5}{16} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-1)^{2n+1}}{2^{2n+1}} (-2)$

Sin embargo, en mi libro, Elements d'analyse complexe de Real Gelinas, la respuesta para 0<|z-1|<2 es

$\frac{-1}{4} (z-1 + \frac{1}{z-1} )\sum_{n=0}^\infty (\frac{z-1}{2n})^{2n}.$

Por lo tanto, me falta un término. ¿Dónde está mi error?

Answer 1

Nota : Ya que has cometido un error en tus expresiones al resolver (el mencionado en los comentarios) voy a repasar un enfoque más directo y común, demostrando todos sus pasos.

El truco está en formar la expresión alrededor de la cual se pide formar la serie de Laurent, que en ese caso concreto es : $z-1$ . Esto es lo que voy a demostrar a continuación :

$$L(z) = \frac{z^2-2z+2}{(z-1)(z^2-2z-3)}= \frac{(z-1)^2+1}{(z-1)(z+1)(z-3)}$$

$$=$$ $$\frac{(z-1)^2+1}{(z-1)(z-1+2)(z-1-2)} = \frac{(z-1)^2+2}{(z-1)(z-1)(z-1)(1+\frac{2}{z-1})(1-\frac{2}{z-1})}$$

$$=$$

$$\frac{(z-1)^2+1}{(z-1)^3(1+\frac{2}{z-1})(1-\frac{2}{z-1})}$$

Ahora, conocemos la siguiente serie geométrica simple :

$$\frac{1}{1-w}\sum_{n=0}^\infty w^n \quad |w|<1$$

$$\frac{1}{1+w} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^nw^n \quad |w|<1$$

Aplicarlas para $\frac{2}{z-1} = w$ :

$$[(z-1)^2+1] \frac{1}{(z-1)^3}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n2^n(z-1)^{-n}\sum_{n=0}^\infty 2^n(z-1)^{-n} $$

$$=$$

$$\bigg[\frac{1}{z-1}+\frac{1}{(z-1)^3}\bigg]\sum_{n=0}^\infty(-1)^n2^n(z-1)^{-n}\sum_{n=0}^\infty 2^n(z-1)^{-n} $$

¿Puede combinarlos todos en una expresión y obtener los resultados? Para la relación de $|z-1|$ dado, es fácil de detectar ya que querrías $|\frac{2}{z-1}| < 1$ y al mismo tiempo $z-1\neq 0$ lo que significa dada su primera condición que $|z-1| > 0$ . Combinando estos se obtiene : $0<|z-1|<2$ .