En un problema reciente he establecido que si $|x|<\frac{1}{2}$ entonces $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n-1}=\frac{-1}{x^2+x-1}$$ donde $a_{1}=a_{2}=1$ et $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$
(Para calcular la suma de la fracción, basta con observar que si $f(x)$ representa la suma entonces $f(x)-xf(x)-x^2f(x)=1)$ )
Ahora se me pide que encuentre otra representación en serie utilizando la fracción $\frac{-1}{x^2+x-1}$
Por descomposición en fracciones tenemos que $$\frac{-1}{x^2+x-1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}+\frac{\frac{-1}{\sqrt{5}}}{x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$ Ahora pensé que podría transformar las expresiones en la forma $$\frac{1}{1-(\frac{x}{a})}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{a}\right)^n$$
lo que hice de la siguiente manera (partiendo de la versión descompuesta): \begin{align*} \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}+\frac{\frac{-1}{\sqrt{5}}}{x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} =&\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right) \\ =&\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{\frac{2x}{-1-\sqrt{5}}-1}-\frac{1}{\frac{2x}{-1+\sqrt{5}}-1}\right) \\ =&\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{-1}{1-\frac{2x}{-1-\sqrt{5}}}+\frac{1}{1-\frac{2x}{-1+\sqrt{5}}}\right)\\ =& \frac{1}{\sqrt{5}}\left[-\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{-1-\sqrt{5}}\right)^n x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{-1+\sqrt{5}}\right) x^n\right] \\ =& \frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{-1+\sqrt{5}}\right)^n-\left(\frac{2}{-1-\sqrt{5}}\right)^n\right]x^n \end{align*}
Sin embargo wolfram)%5En-(2%2F(-1-sqrt(5)))%5En)x%5En) dice que la última suma evalúa a $\frac{-x}{x^2+x-1}$ que es una x de más. ¡Agradecería cualquier ayuda sobre dónde me equivoqué!
