Centros de grupos simétricos

Question

He estado estudiando el libro de Álgebra Abstracta de Beachy/Blairs, y en las últimas secciones parece que me quedo continuamente atascado en preguntas sobre centralizadores.

1. La última que encontré fue: "Demuestra que si $ n \ge3 $ entonces el centro de $ S_n $ es trivial".

   Pude hacerlo por contradicción y aprovechando algo que sabía sobre los grupos de permutación, pero para los grupos generales me cuesta horrores trabajarlos:

2. Sea G un grupo y sea $a \in G $ . Mostrar $C(a)$ es un subgrupo de G y demostrar $\langle a \rangle \subseteq C(a) $ .

¿En qué cosas conviene pensar cuando voy a resolver problemas de este tipo?

Gracias,

Answer 1

@Andrew W., observa que para un grupo $G$ el centro $Z(G) = \bigcap_{g \in G} C_G(g)$ . De ahí que si empiezas a calcular algunos de los centralizadores, obtendrás una pista de qué elementos están en el centro y cuáles no.