Cohomología simplicial de $ \Bbb{R}\text{P}^2$

Question

He conseguido confundirme en un simple cálculo de cohomología. Estoy trabajando con la habitual $\Delta$ -complejo en $X = \mathbf{R}\mathbf{P}^2$ y he calculado el complejo como $\newcommand{Z}{\mathbf{Z}}$

$$ 0 \to \Z \oplus \Z \stackrel{\partial^0}{\to} \Z \oplus \Z \oplus \Z \stackrel{\partial^1}{\to} \Z \oplus \Z \to 0 $$

con $\partial^0$ dada por $(l, m) \mapsto (-l+m, -l+m, 0)$ y $\partial^1$ por $(l,m,n) \mapsto (l+m-n, -l+m+n)$ . Entonces $\mathrm{Ker}(\partial^0) = \left<(1,1)\right> \cong \Z$ y $\mathrm{Im}(\partial^0) = \left<(1,1,0)\right> \cong \Z$ . Para $\partial^1$ Tengo $\mathrm{Ker}(\partial^1) = \left<(1,0,1)\right> \cong \Z$ y estoy bastante seguro de todo hasta ahora.

Ahora para $\mathrm{Im}(\partial^1)$ Primero conseguí $2\Z \oplus 2\Z$ ya que $(2, 0)$ y $(0, 2)$ están ambos en la imagen mientras que $(1, 0)$ y $(0, 1)$ no lo son. No veo qué tiene de malo esta lógica, pero no da la respuesta correcta: $H^2(X) \cong \Z \oplus \Z / (2\Z \oplus 2\Z) \cong \Z/2\Z \oplus \Z/2\Z$ mientras que creo que la respuesta correcta sólo tiene una copia.

Un segundo enfoque que probé es el "teorema del isomorfismo" que dice $\mathrm{Im}(\partial^1) \cong \Z \oplus \Z \oplus \Z / \mathrm{Ker}(\partial^1) = (\Z \oplus \Z \oplus \Z) / \Z \cong \Z \oplus \Z$ . Pero entonces $H^2(X) \cong \Z \oplus \Z / (\Z \oplus \Z) = 0$ sigue estando mal.

¿Qué hay de malo en ambos enfoques y cuál es el correcto?

EDIT: Acabo de darme cuenta de que por supuesto $\Z \oplus \Z \cong 2\Z \oplus 2\Z$ por lo que ambos enfoques dan en realidad la misma respuesta para $\mathrm{Im}(\partial^1)$ . Más concretamente creo que se genera por $\left<(1, 1), (1, -1)\right>$ . Así que sólo puedo asumir que estoy calculando el cociente $\Z^2/\mathrm{Im}(\partial^1)$ incorrectamente.

Para ser muy precisos, tenemos el isomorfismo

$$ H^2(X) = \Z \oplus \Z / \mathrm{Im}(\partial^1) \stackrel{\cong}{\to} \Z $$

dada por $(m, n) + \left<(1, 1), (1, -1)\right> \mapsto m + n$ . Desde $(m,n) \sim (0, m+n)$ este mapa es inyectivo; y es obviamente suryectivo porque $(n, 0)$ siempre se asigna a $n$ para cualquier $n \in \Z$ .

Esto es tan raro......

EDIT: Por supuesto, el problema con el anterior "isomorfismo" es que en realidad no es un homomorfismo bien definido, ya que no coincide en $(1, 1)$ y $(1, -1)$ (de ahí que modifiquemos $2\Z$ ...)

Answer 1

Suponiendo que haya calculado correctamente su complejo de cochain, el problema con su primer enfoque es que es no es cierto que

$$(A \oplus B)/(C \oplus D) \cong A/B \oplus C/D.$$

En cambio, para calcular $H^2(X)$ tendrá que trabajar con generadores y relaciones . Defina $a := (1,0)$ y $b:= (0,1)$ sus vectores base de $\Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z}$ . Una base para la imagen de $\partial^1$ viene dado por $a -b$ y $a + b$ . Así que cuando se calcula el cociente por $\operatorname{im} \partial^1$ estás diciendo que

$$H^2(X) \cong \langle a,b | a +b = a-b= 0\rangle$$

Las relaciones $a + b= 0$ y $a - b = 0$ se combinan para dar $2a = 0$ , $a = -b$ . Es decir

$$H^2(X) \cong \langle a | 2a = 0 \rangle \cong \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}.$$