Simetría discreta de una EDO

Question

El siguiente problema establece que dado un $m\times m$ matriz no singular $T$ tal que $T^2=I$ se denomina reflexión para $\dot{x}=f(x) \Leftrightarrow f(Tx)=-Tf(x)$ para todos $x\ \epsilon\ R^{m}$ . Necesidad de demostrar que $\phi(t,T\xi)\equiv T\phi(-t,\xi)$ donde $\phi(t,\xi)$ es la solución general de $x=f(x)$ y también para demostrar que la reflexión de una solución en el eje x1 es también una solución.

Sé que $\dot{x}=f(x)$ y tiene una solución de $\phi(t,\xi)$ también sé que $\phi(0,\xi)=\xi$ porque es la identidad del flujo, así que pensé que si multiplicamos por $-T$ la función y la solución tenemos $-Tf(x)$ y $-T\phi(t,\xi)$ y esta nueva transformación viene dada por $-T$ debe preservar la nueva función con su nueva solución porque es sólo un reflejo.

Así que si tenemos $-T\phi(t,\xi)$ y si ponemos $t=0$ para la solución, tendremos $-T\phi(0,\xi)=-T\xi$ que hubiera sido lo mismo expresar como $-\phi(0,T\xi)=-T\xi$ o $\phi(0,-T\xi)=-T\xi$ En otras palabras $\phi(t,-T\xi)$ o $-\phi(t,T\xi)$ debe ser válido para $-Tf(x)$ pero necesito llegar a $\phi(t,T\xi)\equiv T\phi(-t,\xi)$ no de la anterior. Tal vez me estoy equivocando y debería utilizar otra técnica, o podría estar perdiendo algo.

Agradecemos cualquier comentario. Gracias.

Answer 1

Tu objetivo $\phi(t,T\xi)\equiv T\phi(-t,\xi)$ se conseguirá si puede demostrar dos cosas:

1. $\phi(0,T\xi) = T \phi(0,\xi)$ -- es decir, las funciones coinciden en el tiempo $t=0$
2. $\frac{d}{dt}\phi(t,T\xi)\equiv \frac{d}{dt} \left(T\phi(-t,\xi)\right)$ -- es decir, las funciones tienen el mismo $t$ -derivada.

El punto 1 es en realidad una tautología: ambos lados son iguales a $T\xi$ por la definición de $\phi$ .

En 2, el lado izquierdo es $f(T\xi)$ . Para calcular el lado derecho, observe que la derivada conmuta con la transformación lineal $T$ y luego utilizar la regla de la cadena: $$\frac{d}{dt} \left(T\phi(-t,\xi)\right) = T \frac{d}{dt} \phi(-t,\xi) = -T f(\xi)$$ Así pues, ambas partes están de acuerdo.