El conjunto de Cantor es homeomórficos a infinito producto de $\{0,1\}$ con el mismo cilindro - y topología

Question

Sé que el conjunto de Cantor, probablemente, viene la tarea de preguntas todo el tiempo, pero no he encontrado muchas pistas que he entendido al menos.

Yo soy, para una tarea problema, se supone que debe mostrar que el conjunto de Cantor es homeomórficos al infinito producto (estoy asumiendo countably infinito?) de $\{0,1\}$ con sí mismo.

Así que los miembros de este de dos puntos, espacio(?) son cosas como $(0,0,0,1)$$(0,1,1,1,1,1,1)$, etc.

En primer lugar, creo que un homeomorphism (el 'topológico isomorhism') es una correspondencia entre dos topologías (para el Cantor establece que la topología es esto? discreto?) continuo, bijective funciones.

Así que estoy bastante perdido y no sé qué más decir! :( He visto algo como esto en la lectura de algunos textos, algo acerca de $$f: \sum_{i=1}^{+\infty}\,\frac{a_i}{3^i} \mapsto \sum_{i=1}^{+\infty}\,\frac{a_i}{2^{i+1}} ,$$ for $a_i = 0,2$. But in some ways this seems to be a 'complement' of what I need.... Apparently I am to use ternary numbers represented using only $0$'s and $1$'s in; for example, $0.a_1\,a_2\,\ldots = 0.01011101$?

Muchas gracias por cualquier ayuda para empezar!

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Aquí está el texto de la tarea pregunta:

La medida estándar en el conjunto de Cantor es dado por el Cantor $\phi$ función que es constante en falta tercios y diádico en ternario racionales.

Mostrar el conjunto de Cantor es homeomórficos al infinito producto de $\{0,1\}$ con sí mismo.

¿Cómo debemos topologize este producto?

(Sugerencia: este producto es el mismo que el conjunto de todas las infinitas secuencias binarias)

Fijar un binario $n$-tupla $(a_1,\ldots, a_n)$ (por ej., $(0,1,1,0,0,0)$ si $n = 6$).

Muestran que el Cantor de medida de los puntos de ( $b_k$ ) $b_k=a_k$ $k \leq n$ $b_k \in \{0,1\}$ arbitrarias para $k>n$, es exactamente $1/2^n$. Estos son los llamados cilindros. (Ellos son los bloques abiertos, pero también cerrado!)

Answer 1

Voy a suponer que el conjunto de Cantor aquí se refiere a la norma del medio tercios conjunto de Cantor $C$ se describe aquí. Puede ser descrito como el conjunto de los números reales en $[0,1]$ tener ternario expansiones utilizando sólo los dígitos $0$$2$, es decir, los números reales de la forma $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n},$$ where each $a_n$ is either $0$ or $2$.

Para cada entero positivo $n$ deje $D_n = \{0,1\}$ con la topología discreta, y vamos a $$X = \prod_{n=1}^\infty D_n$$ with the product topology. Elements of $X$ are infinite sequences of $0$'s and $1$'s, so $(0,0,0,1)$ and $0,1,1,1,1,1,1)$ are not elements of $X$; if you pad these with an infinite string of $0$'s to get $(0,0,0,1,0,0,0,0,\dots)$ and $(0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,\dots)$, however, you do get points of $X$. A more interesting point of $X$ is the sequence $(p_n)_n$, where $p_n = 1$ if $n$ is prime, and $p_n = 0$ if $$ n no es primo.

El problema es demostrar que el $C$, con la topología que se hereda de $\mathbb{R}$, es homeomórficos a $X$. Para hacer eso, usted debe encontrar un bijection $h:C\to D$ tanto $h$ $h^{-1}$ son continuas. La sugerencia de que has encontrado es dejar $$h\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{3^n}\right) = \left(\frac{a_1}2,\frac{a_2}2,\frac{a_3}2,\dots\right).$$ Note that $$\frac{a_n}2 = \begin{cases}0,&\text{if }a_n=0\\1,&\text{if }a_n=2,\end{cases}$$ so this really does define a point in $X$. This really is a bijection: if $b = (b_n)_n \in X$, $$h^{-1}(b) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2b_n}{3^n}.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que el $1/3$-conjunto de Cantor en $[0,1]$ puede ser representado como el conjunto de los números reales de la forma $\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n$ donde $a_n\in\{0,2\}$ por cada $n\in\mathbb{N}$. Un homeomorphism que se busca es la función de $f$, el cual se asigna el punto de $\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n$ en el conjunto de Cantor a la secuencia de $(a_n/2)_{n=1}^\infty$ en el producto $\{0,1\}^\mathbb{N}$. El producto $\{0,1\}^\mathbb{N}$ se compone de countably secuencias infinitas de $0$'s y $1$'s. Tenga en cuenta que no finito tupla como$(0,0,0,1)$$\{0,1\}^\mathbb{N}$. El producto es topologized de modo que cada factor de $\{0,1\}$ es dada la topología discreta y, a continuación, el producto se entrega el producto de la topología.

Quieres demostrar que $f$ es un continuo y abierto bijection. El bijectiveness es muy fácil de mostrar. Para la continuidad usted desea, puede utilizar el hecho de que el producto de la topología de $\{0,1\}^\mathbb{N}$ es generado por los conjuntos de la forma $U(N,a)=\{(a_n)_{n=1}^\infty\in\{0,1\}^\mathbb{N}:a_N=a\}$ donde$N\in\mathbb{N}$$a\in\{0,1\}$, y por lo tanto no es suficiente para mostrar que el preimages de estos conjuntos de $U(N,a)$ están abiertas en el conjunto de Cantor. Finalmente, para mostrar que $f$ está abierto, puede utilizar los siguientes datos generales: una continua bijection de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff es abierto.

Answer 3

El conjunto de Cantor se compone de números cuya ternario de expansión utiliza sólo $0$s y $2$s. Así que hay un "natural" bijection entre el conjunto de cantor y $\{0,1\}^\omega$, o más bien $\{0,2\}^\omega$. Todo lo demás sólo debe "trabajar".

Tenga en cuenta que $\{0,1\}^\omega$ se compone de todas las infinitas secuencias de $0$$1$.