Demostrar que $\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\tan\theta}{\theta} = 1$

Question

Así que he escrito una prueba completa para esta afirmación, y necesito confirmación sobre si todo lo que he escrito es cierto o no.

Lo primero es lo primero, hice la sustitución $\displaystyle\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ y a partir de aquí establezco el siguiente círculo con centro $O$ y radio $1$ unidad arbitraria para encontrar otro límite: $\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}$ (que más adelante revelaré por qué)

Dado esto, es evidente que:

$\Delta OBA \le$ área sectorial $OBA \le \Delta OTA$ que es igual a $\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin\theta \le \frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\theta\le\frac{1}{2}\cdot1\cdot\tan\theta$

que se simplifica a:

$\displaystyle \sin\theta \le \theta \le \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

y a partir de aquí, dividiendo por $\sin\theta$ produce:

$\displaystyle 1 \le \frac{\theta}{\sin\theta} \le \frac{1}{\cos\theta}$

y puesto que el límite de $\cos\theta$ se acerca a $1$ como $\theta$ se acerca a $0$ lo siguiente es cierto:

$\displaystyle 1 \le \frac{\sin\theta}{\theta} \le 1$

lo que implica que $\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$

Y el resto es como sigue:

$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\tan\theta}{\theta} =\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\cos\theta} = 1$

por lo tanto; $\displaystyle \lim \atop \theta \to 0$ $\displaystyle \frac{\tan\theta}{\theta} = 1$ , QED

(¿Es correcto todo lo que he escrito?)

Answer 1

Un par de observaciones.

1- Cambio $<$ a $\le$ .

2- Su prueba presume $\theta >0$ . También debe tener en cuenta $\theta < 0$ caso.

3- En ambos casos, establecer $\cos(\theta) \le \frac{\sin(\theta)}{\theta} \le 1$ y evaluar los límites.

Answer 2

Sólo una cosa está mal: nunca tengas límites separados para $\sin\theta, \,\theta$ en tu fracción, ya que eso da la forma indeterminada $0/0$ . El límite de $fg$ sólo tiene la factorización obvia en términos de dos límites si son finitos, pero $1/\theta $ diverge.