Simplificación de expresiones logarítmicas

Question

Computa:

$$\frac{1-\log_a^{3}{b} }{(\log_a b+\log_b a+1)\log_a\frac{a}{b}}$$

He intentado ampliarlo :

$$\frac{1-\log_a^{3}{b} }{(\log_a b+\log_b a+1)\log_a\frac{a}{b}}$$

$$=\frac{(1-\log_a{b})(\log_a^{2}b+\log_a b+1)}{(\log_a b+\log_b a+1)(1-\log_a{b})}$$

$$=\frac{(\log_a^{2}b+\log_a b+1)}{(\log_a b+\log_b a+1)}$$

Pero no tengo nada.

Answer 1

Creo que esto debería ayudarte.

$\log_ba=\frac{\log_aa}{\log_ab}=\frac1{\log_ab}$

¿Puedes terminarlo desde aquí?

Answer 2

También puede utilizar $$log_a\frac ab=log_aa-log_ab=1-log_ab$$ Junto con la sugerencia de @Mike $$log_ba=\frac 1{log_ab}$$ Se puede expresar todo en términos de $log_ab$ . Si sustituyes esto por legibilidad por, digamos, $x$ el resto es básico. Y para probar su resultado debe ser sólo $log_ab$ .

Answer 3

$$ \large{x = \log_a b}$$

Entonces $$ 1- \log_a^{3}{b} = (1-x^3) $$

También

$$(\log_a b+\log_b a+1)(\log_a\frac{a}{b}) = (x+\frac{1}{x}+1)(1-x)$$

porque

$$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \hspace{8pt} \textit{and} \hspace{8pt} \log_a \frac{a}{b} = (1-\log_a b)$$

Todo se simplifica a

$$ \frac{(1-x^3)}{(x+\frac{1}{x}+1)(1-x)} = \frac{x(1-x^3)}{1-x^3}= x$$