Seguiré la convención de que IFT de $F$ es $\int_{\mathbb R}F(w)e^{2\pi i w t}dw$ si es necesario. En primer lugar, un lema crucial $$\int_0^{\infty } \frac{e^{-aw} \cos (b w)-e^{-cw} \cos (d w)}{w} \, dw=\frac{1}{2} \log \left(\frac{c^2+d^2}{a^2+b^2}\right)$$ Lo cual es directo aplicando el truco de Feynman en cualquiera de los dos $a$ o $c$ . Ahora, para el caso $m=1$ uno tiene el IFT igual a $$I_1=\int_{\mathbb R} \frac{1-\sum_i a_i e^{-r_1 b_i |w|}}{|w|}e^{2\pi i w t}dw=2\int_{\mathbb R^+} \frac{1-\sum_i a_i e^{-r_1 b_i w}}{w}\cos(2\pi t w)dw=\sum_i a_i K_1(r_1 b_i)$$ Donde hemos reflexionado sobre parte $\mathbb R^-$ aplicando la fórmula de Euler y reescribiendo $1$ como $\sum_i a_i$ . Ahora el lema da $$K_1(s)=\int_{\mathbb R^+}\frac{1-e^{-s w}}{w}\cos(2\pi t w)dw=\frac{1}{2} \left(\log \left(\frac{s^2}{4 t^2}+\pi ^2\right)-2 \log (\pi )\right)$$ Lo que completa la evaluación de este caso. Nótese que esto puede generalizarse trivialmente a los casos que $m=2, 3$ a saber, formas cerradas elementales de IFT que $I_2=\sum_{i,j} a_i a_j K_2(r_1 b_i, r_2 b_j)$ y $I_3=\sum_{i,j,k} a_i a_j a_k K_3(r_1 b_i, r_2 b_j, r_3 b_k)$ donde
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$\small K_2(s,y)=\int_{\mathbb R^+}\frac{1-e^{-s w}}{w}\frac{1-e^{-y w}}{w}\cos(2\pi t w)dw=-\frac{1}{2} s \log \left(s^2+4 \pi ^2 t^2\right)+\frac{1}{2} s \log \left((s+y)^2+4 \pi ^2 t^2\right)+\frac{1}{2} y \log \left((s+y)^2+4 \pi ^2 t^2\right)-2 \pi t \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s+y}\right)+2 \pi t \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s}\right)-\frac{1}{2} y \log \left(4 \pi ^2 t^2+y^2\right)+2 \pi t \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{y}\right)-\pi ^2 t$
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$\scriptsize K_3(s,y,z)=\int_{\mathbb R^+}\frac{1-e^{-s w}}{w}\frac{1-e^{-y w}}{w}\frac{1-e^{-z w}}{w}\cos(2\pi t w)dw=\frac{1}{4} \left(2 \log (s) s^2+\log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{s^2}+1\right) s^2-2 \log (s+y) s^2-\log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+y)^2}+1\right) s^2-2 \log (s+z) s^2+2 \log (s+y+z) s^2-\log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+z)^2}+1\right) s^2-8 \pi t \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s}\right) s+8 \pi t \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s+y}\right) s+8 \pi t \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s+z}\right) s-8 \pi t \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s+y+z}\right) s-4 y \log (s+y) s-2 y \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+y)^2}+1\right) s-4 z \log (s+z) s+4 y \log (s+y+z) s+4 z \log (s+y+z) s-2 z \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+z)^2}+1\right) s-8 \pi t y \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{y}\right)+8 \pi t y \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s+y}\right)-8 \pi t z \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{z}\right)+8 \pi t z \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s+z}\right)+8 \pi t y \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{y+z}\right)+8 \pi t z \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{y+z}\right)-8 \pi t y \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s+y+z}\right)-8 \pi t z \tan ^{-1}\left(\frac{2 \pi t}{s+y+z}\right)-8 \pi ^2 t^2 \log (s)-4 \pi ^2 t^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{s^2}+1\right)+8 \pi ^2 t^2 \log (2 \pi t)-8 \pi ^2 t^2 \log (y)+2 y^2 \log (y)+8 \pi ^2 t^2 \log (s+y)-2 y^2 \log (s+y)-4 \pi ^2 t^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{y^2}+1\right)+y^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{y^2}+1\right)+4 \pi ^2 t^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+y)^2}+1\right)-y^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+y)^2}+1\right)-8 \pi ^2 t^2 \log (z)+2 z^2 \log (z)+8 \pi ^2 t^2 \log (s+z)-2 z^2 \log (s+z)+8 \pi ^2 t^2 \log (y+z)-2 y^2 \log (y+z)-2 z^2 \log (y+z)-4 y z \log (y+z)-8 \pi ^2 t^2 \log (s+y+z)+2 y^2 \log (s+y+z)+2 z^2 \log (s+y+z)+4 y z \log (s+y+z)-4 \pi ^2 t^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{z^2}+1\right)+z^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{z^2}+1\right)+4 \pi ^2 t^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+z)^2}+1\right)-z^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+z)^2}+1\right)+4 \pi ^2 t^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(y+z)^2}+1\right)-y^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(y+z)^2}+1\right)-z^2 \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(y+z)^2}+1\right)-2 y z \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(y+z)^2}+1\right)+(s+2 \pi t+y+z) (s-2 \pi t+y+z) \log \left(\frac{4 \pi ^2 t^2}{(s+y+z)^2}+1\right)\right)$
No hay ninguna dificultad esencial para calcular $K_2$ y $K_3$ a pesar de sus complicadas formas (debido a lo cual utilicé Mathematica para generar el resultado). Tomemos $K_2$ por ejemplo, basta con aplicar de nuevo el truco de Feynman sobre $s$ y volver a utilizar el lema. Para $K_3$ Sólo hay que diferenciar $s$ dos veces, utilizar el lema, e integrar de nuevo dos veces (cuidando bien los valores límite tomados). El método descrito aquí debería funcionar para todos los $m>3$ ya que esencialmente no estamos integrando nada más que las formas $\int s^k \log(s^2+a^2) ds$ y $\int s^k \tan^{-1}(s)ds$ que será expresable mediante $\log, \tan^{-1}$ de nuevo (no importa lo $m$ es) sin utilizar términos polilógicos (como en, por ejemplo, esta pregunta ).
Para comodidad de OP, este comando debe generar la expresión de $K_3$ .
Integrate[(1 - Exp[-s w]) (1 - Exp[-y w]) (1 - Exp[-z w])/w^3*
Cos[2 Pi t w], {w, 0, Infinity},
Assumptions -> s > 0 && y > 0 && z > 0 && t > 0] // FullSimplify
Se pueden utilizar para escribir formas explícitas de IFT para determinadas $m$ y parámetros. Fin de la historia.
