Resolución de una EDO con dos variables dependientes

Question

Aquí $\theta\equiv\theta(x),y\equiv y(x)$ . Necesidad de resolver $\theta''y+2\theta'y'+2y'+2y=0$ pour $y$ posiblemente en términos de $\theta$ y $x$ .

He intentado aplicar el "método de agrupación" multiplicando por $y$ , \begin{align*} \theta''y^2+2\theta'y'y+2y'y+2y^2=0\\ d(\theta'y^2+y^2)+2y^2=0 \end{align*}

No puedo averiguar cómo lidiar con el $2y^2$ arriba. Intentando evitar algún tipo de solución "implícita" si es posible.

Answer 1

$$\theta''y+2\theta'y'+2y'+2y=0$$ $$\theta''+2(\theta'+1)\frac{y'}{y}+2=0$$ $$\frac{y'}{y}=-\frac{\theta''+2}{2(\theta'+1)}$$ $$\ln|y|=-\int \frac{\theta''+2}{2(\theta'+1)} dx+\text{constant}$$ Dada una función $\theta(x)$ la función $y(x)$ es : $$y(x)=C\:\exp\left(-\int \frac{\theta''+2}{2(\theta'+1)} dx \right)$$ En el caso general, esto no puede simplificarse en términos de $\theta(x)$ sin integral.

Por supuesto, si $\theta(x)$ se conoce explícitamente y si la integral puede expresarse explícitamente, entonces $y(x)$ se obtiene explícitamente.

Answer 2

Pista:

Multiplicar por $y$ ,

$$\theta''y^2+2\theta'yy'+2yy'+2y^2=0$$ puede simplificarse a $$(\theta'y^2+y^2)'+2y^2=0$$ o, con $\phi=(\theta+x)'$ y $z=y^2$ , $$(\phi z)'+2z=0.$$

De esto,

$$\theta=-\int\frac2{y^2}\left(\int y^2dx+c\right)dx+c'-x.$$