¿Por qué $A_n$ generados por los 3 ciclos

Question

Para mi curso de Teoría de Grupos, he visto varias pruebas que muestran por qué el grupo alterno $A_n$ formado por los elementos de $S_n$ que puede expresarse como un número par de transposiciones (es decir, 2 ciclos), está generado por los 3 ciclos.

Todas estas pruebas, y a veces también la pregunta, parecen guiarle a demostrar que cualquier elemento de $A_n$ puede expresarse como un producto de 3 ciclos. Ahora tengo las pruebas hasta este punto.

Lo que no entiendo, y espero que me puedan ayudar, es por qué el hecho de que cualquier elemento de $A_n$ puede expresarse como un producto de 3 ciclos significa que $A_n$ está generado por los 3 ciclos. ¿No podría ser que, aunque cualquier elemento de $A_n$ puede expresarse como un producto de 3-ciclos, que si dejamos que los 3-ciclos generen un grupo habrá elementos en ese grupo que no estén en $A_n$ ? No veo por qué nuestra prueba (por ejemplo dada aquí ) excluiría esa posibilidad.

Si alguno de ustedes puede arrojar algo de luz sobre esto, ¡su ayuda será muy apreciada!

Answer 1

Conocemos cada ciclo de 3 en $S_n$ está en $A_n$ porque $(a\,b\,c)=(a\,c)(a\,b)$ y por definición $A_n$ consiste en todo lo que puede escribirse como producto de un número par de transposiciones.

Así, en particular, todo producto de $k$ 3-ciclos es un producto de $2k$ transposiciones y, por tanto, en $A_n$ . Así que lo que generen los 3 ciclos debe ser un subgrupo de $A_n$ también.

Answer 2

No creo que las dos resoluciones dadas sean completo.

Sea $\sigma_1,\cdots, \sigma_s$ sean los 3 ciclos de $S_n$ . A partir de las respuestas dadas, se demostró que $\langle \sigma_1,\cdots, \sigma_s\rangle \subseteq A_n.$ Queda, pues, por demostrar que $A_n \subseteq \langle \sigma_1,\cdots, \sigma_s\rangle. $

Sea $\alpha \in A_n$ . Sabemos que $\alpha$ puede escribirse como un producto de transposiciones, y por la paridad de $\alpha$ debe ser el producto de un número par de transposiciones. Ahora observa que el producto de dos transposiciones es siempre un producto de 3 ciclos: en efecto, si $\tau_1 = (a_1,a_2), \tau_2 = (b_1,b_2)$ son disjuntos, entonces $\tau_1\tau_2 = (a_1b_1a_2)(b_1b_2a_1);$ y si tienen un elemento en común, digamos $a_2=b_1$ entonces $\tau_1\tau_2 = (b_1b_2a_1).$ Ahora, hemos demostrado que $\alpha$ tiene un número par de transposiciones y como el producto de dos transposiciones es un 3-ciclo, $\alpha$ es entonces un producto de 3 ciclos. Por lo tanto, $A_n\subseteq \langle \sigma_1,\cdots, \sigma_s\rangle$

Answer 3

Todo ciclo de 3 es una permutación par, y todo producto de permutaciones pares es una permutación par. Por lo tanto, cualquier producto de 3 ciclos está en $A_n$ que es el subgrupo de todos permutaciones pares.