Es $R^n$ ¿Estocásticamente completo para el núcleo de calor de un operador de Schrödinger?

Question

Supongamos que $V:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ es sólo un polinomio positivo y $K_{t}(x,y)$ es el núcleo térmico de $H = -\Delta + V$ . Entonces, ¿se deduce

$$\int_{\mathbb{R}^{n}} K_{t}(x, \cdot)\,dy = 1?$$

¿O esto seguiría al menos para el núcleo $\tilde{K}_{t}$ tras la transferencia de $H$ a un $L^{2}$ ¿Espacio?

Answer 1

Si $V$ es un positivo polinomio entonces $\int_{\mathbb{R}^n} K_t(x,y)dy$ es estrictamente inferior a $1$ . Esto se deduce de la fórmula de Feynman-Kac, $$ \int_{\mathbb{R}^n} K_t(x,y)dy = \mathbb{E}_x \left ( \exp\left ( -\int_0^t V(b(s))ds\right ) \right )$$ donde la expectativa del lado derecho es sobre el movimiento browniano $b$ a partir de $x$ . Estocásticamente se puede interpretar un potencial positivo como una "tasa de mortalidad" local del proceso.

Por otra parte, ya que usted está preocupado por $V$ polinómico y positivo, siempre que $V$ no es constante, es normal que $H$ tiene espectro discreto y que el eigenvalor del estado fundamental $E_0$ es no degenerada y que la función propia del estado básico $\psi_0(x)$ no desaparece en ninguna parte y puede considerarse positiva. Claramente $$\int_{\mathbb{R}^n} e^{tE_0} K_t(x,y)\psi_0(y)dy = \psi_0(x),$$ es decir, que el núcleo de calor para $H-E_0$ es estocásticamente completa en un espacio adecuado.